Разбери тему по алгебре: координатная прямая

Кратко: координатная прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта \(O(0)\), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок. Каждой точке соответствует одно число — её координата. Положительные числа — справа от \(0\), отрицательные — слева.

1. Из чего состоит координатная прямая

1. Начало отсчёта — точка \(O\) с координатой \(0\).
2. Направление — стрелка вправо, это положительное направление.
3. Единичный отрезок — расстояние, которое считаем за \(1\).
4. Масштаб — одинаковые деления на всей прямой.

Пишут так: \(A(3)\) — точка \(A\) имеет координату \(3\).

2. Как отметить точку

• Если число положительное — идём от \(0\) вправо.
• Если отрицательное — влево.
• Число единиц берём по модулю числа: \(|-4|=4\), значит, точку \(A(-4)\) ставим на \(4\) единицы влево от \(0\).
• Дробное число: например, \(1{,}5\) — между \(1\) и \(2\); \(-\frac34\) — влево от \(0\), разделив единичный отрезок на \(4\) части и отсчитав \(3\).

3. Как сравнивать числа

На координатной прямой чем правее точка, тем больше число.

Примеры: \[ -5 < -2 < 0 < 1 < 4 \] Хотя \(5>2\), для отрицательных наоборот: \[ -2 > -5, \] потому что \(-2\) правее \(-5\).

Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от \(0\), но по разные стороны: \[ 3 \text{ и } -3, \quad -1{,}5 \text{ и } 1{,}5. \]

4. Модуль и расстояние

Модуль числа показывает расстояние от точки до \(0\): \[ |-4|=4,\qquad |3|=3. \] Расстояние между точками \(A(a)\) и \(B(b)\): \[ AB=|b-a|. \] Например, между \(A(-2)\) и \(B(4)\): \[ AB=|4-(-2)|=|4+2|=6. \] Проверка по смыслу: от \(-2\) до \(0\) — \(2\) единицы, от \(0\) до \(4\) — \(4\) единицы, всего \(2+4=6\).

5. Пример с проверкой

Даны точки \(A(-2)\) и \(B(4)\).

• \(A\) левее \(B\), значит, \(-2<4\).
• Расстояние: \[ AB=|4-(-2)|=6. \]
• Середина отрезка \(AB\): \[ M\left(\frac{-2+4}{2}\right)=M(1). \] Проверка: расстояние от \(M(1)\) до \(A(-2)\) равно \(3\), и до \(B(4)\) тоже \(3\). Значит, \(M(1)\) — действительно середина.

Итоговый алгоритм

• Отметить число: знак показывает сторону, модуль — сколько единиц отложить.
• Прочитать координату: считать от \(0\), влево — со знаком минус, вправо — со знаком плюс.
• Сравнить числа: смотреть, какое правее.
• Найти расстояние: \(|b-a|\).
• Найти середину: \(\frac{a+b}{2}\).

Если пришлёшь конкретное задание с точками, разберём его по этим шагам.