Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1 = 2,\quad x_2 = 3\).
Как решать через дискриминант
Уравнение имеет вид:
\[ ax^2+bx+c=0, \]
где \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
1. Находим дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]
Так как \(D>0\), корней два.
2. Вычисляем корни:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{5\pm1}{2}. \]
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3. \]
Проверка
Подставим \(x=2\):
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]
Подставим \(x=3\):
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Принцип: для любого уравнения \(ax^2+bx+c=0\) сначала считаем \(D=b^2-4ac\). Если \(D>0\), корней два; если \(D=0\), корень один; если \(D<0\), действительных корней нет. Затем подставляем в формулу корней.
Обсуждение
3 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Хороший вопрос — давай разберём именно его.
1. Что такое \(x\)
\(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. Уравнение
\[ x^2-5x+6=0 \]
читается так: «найди такое число \(x\), при подстановке которого в выражение \(x^2-5x+6\) получится 0». Таких чисел оказалось два — \(2\) и \(3\).
2. Почему пишут \(x_1\) и \(x_2\)
Запись \(x_1=2,\ x_2=3\) означает просто «первый корень равен 2, второй корень равен 3». Индексы 1 и 2 — это не степени и не множители, а просто номера: первое найденное значение \(x\) и второе.
3. Откуда взялась формула с \(x\)
Формула
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
— это готовый «рецепт»: он говорит, какие числа подставить вместо \(x\). В нашем случае \(a=1,\ b=-5,\ D=1\), поэтому
\[ x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm 1}{2}. \]
Обрати внимание: \(b=-5\), а в формуле стоит \(-b\), то есть \(-(-5)=5\).
Знак \(\pm\) означает «два раза»: один раз с минусом, один раз с плюсом.
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2, \qquad x_2=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3. \]
4. Откуда вообще берётся эта формула (коротко)
Её получают из общего уравнения \(ax^2+bx+c=0\), выделяя полный квадрат:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
делим на \(a\):
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0. \]
Сворачиваем в квадрат:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{D}{4a^2}. \]
Извлекаем корень:
\[ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}, \]
и выражаем \(x\):
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
То есть \(x\) в формуле — это то же самое неизвестное из уравнения, просто теперь оно выражено через известные числа \(a\), \(b\), \(c\).
5. Проверка другим способом
Можно было вообще не считать дискриминант, а разложить на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Получили те же корни — значит, ответ верный.
Сколько будет 23•23
