Как найти радиус в описанном треугольнике

Коротко: здесь важно различать две вещи.

1. Окружность описана около треугольника — ищем радиус \(R\): \[ R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{abc}{4S}, \] где \(a,b,c\) — стороны, \(A\) — угол против стороны \(a\), \(S\) — площадь треугольника.

Частные случаи:

• прямоугольный треугольник: гипотенуза является диаметром, поэтому \[ R=\frac{c}{2}, \] где \(c\) — гипотенуза;
• равносторонний треугольник со стороной \(a\): \[ R=\frac{a}{\sqrt3}. \]

2. Треугольник описан около окружности, то есть окружность вписана в него, — ищем радиус \(r\): \[ r=\frac{S}{p}, \] где \(p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр.

Частные случаи:

• прямоугольный треугольник с катетами \(a,b\) и гипотенузой \(c\): \[ r=\frac{a+b-c}{2}; \]
• равносторонний треугольник: \[ r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r. \]

Как действовать по шагам:

1. Понять, какая окружность: описанная около треугольника или вписанная в него.
2. Выписать известные стороны/углы.
3. Если нужна площадь по трём сторонам, найти её по формуле Герона: \[ p=\frac{a+b+c}{2},\qquad S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. \]
4. Подставить в нужную формулу.

Проверка на примере. Прямоугольный треугольник \(6,8,10\):

• \(R=\frac{10}{2}=5\);
• \(S=\frac{6\cdot 8}{2}=24\), \(p=12\), значит \[ r=\frac{24}{12}=2. \] Проверка через формулу \(r=\frac{6+8-10}{2}=2\) совпала.