Что такое прямоугольник
Краткий ответ
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все четыре угла прямые (по 90°). Проще говоря, четырёхугольник с четырьмя прямыми углами, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
Откуда берётся определение
Есть два равносильных описания:
- Через углы: четырёхугольник, у которого все углы прямые.
- Через параллелограмм: параллелограмм с одним прямым углом.
Второе короче и удобнее для задач: если в параллелограмме один угол прямой, то и остальные становятся прямыми (сумма соседних углов параллелограмма — 180°, а противоположные равны). Значит, проверять все четыре угла не нужно.
Свойства (что дано «бесплатно»)
Прямоугольник наследует всё от параллелограмма:
- противоположные стороны равны и параллельны;
- диагонали точкой пересечения делятся пополам;
- сумма углов 360°, каждый угол 90°.
И добавляет своё, главное свойство:
Диагонали прямоугольника равны.
Это то, чем прямоугольник отличается от «обычного» параллелограмма. Причём работает и обратно (признак): если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.
Как это применять
Пример. Стороны прямоугольника 3 см и 4 см. Найди диагональ.
Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника с катетами 3 и 4, она же — гипотенуза:
$$d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{см}$$
Проверка принципа: вторая диагональ тоже 5 см — и это не совпадение, а признак того, что фигура действительно прямоугольник.
Формулы на память
| Что | Формула |
|---|---|
| Периметр | $P=2(a+b)$ |
| Площадь | $S=ab$ |
| Диагональ | $d=\sqrt{a^2+b^2}$ |
| Радиус описанной окружности | $R=\dfrac{d}{2}$ |
Частые ошибки
- «Прямоугольник — это любой четырёхугольник с двумя прямыми углами» — нет. У прямоугольной трапеции тоже два прямых угла, но это не прямоугольник.
- «Квадрат — это не прямоугольник» — квадрат является прямоугольником (у него все углы прямые), просто ещё и ромбом. А вот обратное неверно: прямоугольник с разными сторонами — не квадрат.
- Путать с ромбом — у ромба равны стороны, а у прямоугольника — диагонали.
Как решать похожие задания: сначала проверь по признаку (есть ли прямой угол в параллелограмме / равны ли диагонали), а потом пользуйся свойствами — чаще всего нужны равные диагонали и теорема Пифагора.
