Реши
Краткий ответ
Масса тела: \(m=0{,}200\) кг.
а) \(v_x(t)=0{,}020\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)\) м/с, \(t\) — в секундах;
б) \(T=4{,}0\) с;
в) \(k=0{,}05\pi^2\approx0{,}49\) Н/м;
г) \(\omega=\frac{\pi}{2}\approx1{,}57\) рад/с;
д) \(A=\frac{v_{\max}}{\omega}=\frac{0{,}020}{\pi/2}\approx1{,}27\cdot10^{-2}\) м \(\approx1{,}3\) см;
е) \(F_{\max}=kA\approx6{,}3\cdot10^{-3}\) Н.\(T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g-a}}\approx3{,}0\) с.
Если брать \(g=10\) м/с²: \(T=2\pi\sqrt{\frac{2}{9}}\approx2{,}96\) с.
Разбор
По графику максимальная скорость \(v_{\max}=2\) см/с \(=0{,}020\) м/с.
Соседние максимумы повторяются через \(4\) с, значит \(T=4\) с. Поэтому \[ \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}\ \text{рад/с}. \] В момент \(t=0\) скорость максимальна и положительна, поэтому зависимость имеет вид косинуса: \[ v_x(t)=0{,}020\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\ \text{м/с}. \]Для гармонических колебаний \[ v_{\max}=\omega A, \] поэтому амплитуда смещения \[ A=\frac{v_{\max}}{\omega} =\frac{0{,}020}{\pi/2} =\frac{0{,}040}{\pi}\approx0{,}0127\ \text{м}. \]
Для пружинного маятника \[ \omega^2=\frac{k}{m}, \] отсюда \[ k=m\omega^2=0{,}200\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 =0{,}05\pi^2\approx0{,}49\ \text{Н/м}. \]
Максимальная по модулю возвращающая сила: \[ F_{\max}=kA\approx0{,}493\cdot0{,}0127 \approx6{,}3\cdot10^{-3}\ \text{Н}. \]
В лифте, ускоряющемся вниз, эффективное ускорение свободного падения уменьшается: \[ g_{\text{эфф}}=g-a. \] Поэтому для математического маятника \[ T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{эфф}}}} =2\pi\sqrt{\frac{L}{g-a}}. \] При \(g=10\) м/с²: \[ T=2\pi\sqrt{\frac{2}{10-1}} =2\pi\sqrt{\frac{2}{9}}\approx2{,}96\ \text{с}\approx3{,}0\ \text{с}. \]
Проверка:
\[
\frac{k}{m}\approx\frac{0{,}493}{0{,}2}\approx2{,}47
\approx\left(\frac{\pi}{2}\right)^2,
\]
\[
\frac{F_{\max}}{m}\approx\frac{0{,}0063}{0{,}2}
\approx0{,}0314\approx\omega v_{\max}.
\]
Всё согласуется.
Обсуждение
2 сообщенияРеши по порядку то есть запиши дано найти решение и сначала под буквой а потом под буквой б потом под буквой в и до конца
Задача 1
Дано:
\(m=0{,}200\) кг.
По графику:
\[
v_{\max}=2\ \text{см/с}=0{,}020\ \text{м/с},
\]
между соседними максимумами скорости \(4\) с; в момент \(t=0\) скорость максимальна и положительна.
Найти:
а) \(v_x(t)\);
б) \(T\);
в) \(k\);
г) \(\omega\);
д) \(A\);
е) \(F_{\max}\).
Решение
а) Циклическая частота: \[ \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ \text{рад/с}. \]
Так как при \(t=0\) скорость максимальна, зависимость имеет вид: \[ v_x(t)=v_{\max}\cos(\omega t). \] Значит, \[ \boxed{v_x(t)=0{,}020\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\ \text{м/с}},\quad t\text{ — в секундах}. \]
б) По графику соседние максимумы повторяются через \(4\) с: \[ \boxed{T=4{,}0\ \text{с}}. \]
в) Для пружинного маятника: \[ \omega^2=\frac{k}{m}, \] поэтому \[ k=m\omega^2=0{,}200\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 =0{,}05\pi^2\approx0{,}49\ \text{Н/м}. \] \[ \boxed{k\approx0{,}49\ \text{Н/м}}. \]
г) Циклическая частота: \[ \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}\approx1{,}57\ \text{рад/с}. \] \[ \boxed{\omega\approx1{,}57\ \text{рад/с}}. \]
д) При гармонических колебаниях: \[ v_{\max}=\omega A, \] отсюда \[ A=\frac{v_{\max}}{\omega} =\frac{0{,}020}{\pi/2} =\frac{0{,}040}{\pi} \approx0{,}0127\ \text{м}\approx1{,}3\ \text{см}. \] \[ \boxed{A\approx1{,}3\ \text{см}}. \]
е) Максимальная возвращающая сила: \[ F_{\max}=kA \approx0{,}493\cdot0{,}0127 \approx6{,}3\cdot10^{-3}\ \text{Н}. \] \[ \boxed{F_{\max}\approx6{,}3\cdot10^{-3}\ \text{Н}}. \]
Задача 2
Дано:
\[
L=2\ \text{м},\qquad a=1\ \text{м/с}^2
\]
(лифт ускоряется вниз), принять
\[
g\approx9{,}8\ \text{м/с}^2.
\]
Найти:
\(T\) — период математического маятника в лифте.
Решение
При ускорении лифта вниз эффективное ускорение свободного падения уменьшается: \[ g_{\text{эфф}}=g-a. \]
Период математического маятника: \[ T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{эфф}}}} =2\pi\sqrt{\frac{L}{g-a}}. \]
Подставляем значения: \[ T=2\pi\sqrt{\frac{2}{9{,}8-1}} =2\pi\sqrt{\frac{2}{8{,}8}} \approx2\pi\cdot0{,}4767 \approx3{,}0\ \text{с}. \]
\[ \boxed{T\approx3{,}0\ \text{с}}. \]
Если округлять \(g\approx10\ \text{м/с}^2\), то: \[ T=2\pi\sqrt{\frac{2}{10-1}} =2\pi\sqrt{\frac{2}{9}} \approx2{,}96\ \text{с}\approx3{,}0\ \text{с}. \]
Ответ:
а) \(v_x(t)=0{,}020\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\) м/с;
б) \(T=4{,}0\) с;
в) \(k\approx0{,}49\) Н/м;
г) \(\omega\approx1{,}57\) рад/с;
д) \(A\approx1{,}3\) см;
е) \(F_{\max}\approx6{,}3\cdot10^{-3}\) Н.\(T\approx3{,}0\) с.
