Объясни теорему Виета

Коротко. Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения
\[ ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0, \] то \[ \boxed{x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.} \]

Для приведённого уравнения \[ x^2+px+q=0 \] формулы проще: \[ \boxed{x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.} \]

Почему это работает. Если \(x_1,x_2\) — корни, то квадратный трёхчлен раскладывается на множители: \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \] Раскроем скобки: \[ a(x-x_1)(x-x_2) =a x^2-a(x_1+x_2)x+a x_1x_2. \] Сравниваем коэффициенты при \(x\) и свободный член: \[ b=-a(x_1+x_2),\qquad c=a x_1x_2. \] Отсюда \[ x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca. \]

Пример. Решим без дискриминанта: \[ x^2-5x+6=0. \] Здесь \(p=-5,\ q=6\), значит: \[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6. \] Подходят числа \(2\) и \(3\): \[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6. \]

Проверка. Подставим: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \] Всё верно.

Важно: если коэффициент \(a\ne1\), нельзя брать просто \(x_1+x_2=-b\) и \(x_1x_2=c\) — нужно делить на \(a\). Также теорема Виета не отменяет дискриминант: она помогает находить корни подбором и проверять их, но если корни неочевидны, дискриминант всё равно нужен.