Спасибо! Рад, что решение понятно. Если нужно разобрать ещё пример или проверить ответ — присылай.

Понял, спасибо за уточнение — значит, оформление и ход решения совпадают со школьным: сначала знаки по четверти, потом формулы двойного угла, без лишних «взрослых» приёмов.

Если захочешь, можем так же разобрать похожий пример или проверить следующее задание.

Тест: тригонометрия (20 заданий)

Блок 1. Нахождение sin α и cos α по четверти (1–4)

1. \(\sin\alpha=\frac35\), \(\alpha\) — I четверть. Найдите \(\cos\alpha\). А) \(\frac45\) Б) \(-\frac45\) В) \(\frac54\) Г) \(\frac35\)

2. \(\cos\alpha=-\frac{5}{13}\), \(\alpha\) — II четверть. Найдите \(\sin\alpha\). А) \(\frac{12}{13}\) Б) \(-\frac{12}{13}\) В) \(\frac{5}{12}\) Г) \(-\frac{5}{12}\)

3. \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\), \(\alpha\) — III четверть. Найдите \(\sin\alpha\). А) \(-\frac35\) Б) \(\frac35\) В) \(-\frac45\) Г) \(\frac45\)

4. \(\sin\alpha=-\frac{5}{13}\), \(\alpha\) — IV четверть. Найдите \(\cos\alpha\). А) \(\frac{12}{13}\) Б) \(-\frac{12}{13}\) В) \(\frac{5}{12}\) Г) \(-\frac{5}{12}\)

Блок 2. Формулы двойного угла (5–13)

5. \(\sin\alpha=\frac45\), \(\cos\alpha=\frac35\). Найдите \(\sin2\alpha\). А) \(\frac{24}{25}\) Б) \(\frac{7}{25}\) В) \(\frac{12}{25}\) Г) \(\frac{24}{5}\)

6. \(\cos\alpha=\frac12\). Найдите \(\cos2\alpha\). А) \(-\frac12\) Б) \(\frac12\) В) \(0\) Г) \(-\frac{\sqrt3}{2}\)

7. \(\sin\alpha=0{,}8\), \(\alpha\) — I четверть. Найдите \(\cos2\alpha\). А) \(-\frac{7}{25}\) Б) \(\frac{7}{25}\) В) \(-0{,}6\) Г) \(0{,}36\)

8. Вычислите \(\sin15^\circ\cos15^\circ\). А) \(\frac14\) Б) \(\frac12\) В) \(\frac{\sqrt3}{4}\) Г) \(\frac{\sqrt3}{2}\)

9. Вычислите \(\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ\). А) \(\frac{\sqrt3}{2}\) Б) \(\frac12\) В) \(\frac{\sqrt2}{2}\) Г) \(-\frac{\sqrt3}{2}\)

10. Вычислите \(1-2\sin^2 22{,}5^\circ\). А) \(\frac{\sqrt2}{2}\) Б) \(\frac12\) В) \(\frac{\sqrt3}{2}\) Г) \(-\frac{\sqrt2}{2}\)

11. \(\operatorname{tg}\alpha=\frac12\). Найдите \(\operatorname{tg}2\alpha\). А) \(\frac43\) Б) \(\frac34\) В) \(1\) Г) \(\frac23\)

12. \(\sin\alpha=\frac{5}{13}\), \(\alpha\) — II четверть. Найдите \(\sin2\alpha\). А) \(-\frac{120}{169}\) Б) \(\frac{120}{169}\) В) \(-\frac{60}{169}\) Г) \(-\frac{120}{13}\)

13. \(\cos\alpha=-\frac35\), \(\alpha\) — II четверть. Найдите \(\cos2\alpha\). А) \(-\frac{7}{25}\) Б) \(\frac{7}{25}\) В) \(-\frac15\) Г) \(\frac{24}{25}\)

Блок 3. Упрощение и вычисление (14–18)

14. Упростите: \((\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1\). А) \(\sin2\alpha\) Б) \(\cos2\alpha\) В) \(1\) Г) \(2\sin\alpha\)

15. Упростите: \(2\sin^2\alpha+\cos2\alpha\). А) \(1\) Б) \(0\) В) \(\sin2\alpha\) Г) \(2\cos2\alpha\)

16. Вычислите \(\dfrac{2\operatorname{tg}15^\circ}{1-\operatorname{tg}^2 15^\circ}\). А) \(\frac{\sqrt3}{3}\) Б) \(\sqrt3\) В) \(\frac12\) Г) \(2\)

17. Известно, что \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac14\). Найдите \(\sin2\alpha\). А) \(\frac12\) Б) \(\frac14\) В) \(1\) Г) \(2\)

18. \(\cos2\alpha=\frac13\). Найдите \(\sin^2\alpha\). А) \(\frac13\) Б) \(\frac23\) В) \(\frac16\) Г) \(\frac49\)

Блок 4. Четверти и тангенс (19–20)

19. \(\sin\alpha<0\), \(\cos\alpha>0\). В какой четверти находится \(\alpha\)? А) IV Б) III В) II Г) I

20. \(\operatorname{tg}\alpha=-2\). Найдите \(\operatorname{tg}2\alpha\). А) \(\frac43\) Б) \(-\frac43\) В) \(\frac45\) Г) \(-\frac45\)

Ключ

Пояснения к самым «хитрым»:

• №8: \(\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac12\sin30^\circ=\frac12\cdot\frac12=\frac14\).
• №10: это формула \(\cos2\alpha\), значит \(\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\).
• №15: \(2\sin^2\alpha+\cos2\alpha=2\sin^2\alpha+(1-2\sin^2\alpha)=1\).
• №18: \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\), поэтому \(\sin^2\alpha=\frac{1-1/3}{2}=\frac13\).
• №20: \(\operatorname{tg}2\alpha=\frac{2(-2)}{1-4}=\frac{-4}{-3}=\frac43\).

Сделай сначала сам, потом сверься с ключом. Если какое-то задание не сойдётся — пришли номер, разберём шаг за шагом.

Погоду в Сухуме в реальном времени я не смотрю — здесь я помогаю с учёбой, а не с прогнозами. Пообщаться с людьми можно в комьюнити Новой Школы: Telegram и ВКонтакте

Если нужно — вернёмся к тесту или разберём задание.