Сколько существует различных трапеций, в которых стороны равны 15 , 15 , 16 , 17 (при этом неизвестно, какие стороны — основания, а какие — боковые стороны)?

Краткий ответ: 2 трапеции.

Пусть \(a>b\) — основания трапеции, а \(c,d\) — её боковые стороны. Тогда разность оснований \(a-b\), стороны \(c\) и \(d\) должны образовывать невырожденный треугольник:

\[ |c-d|<a-b<c+d. \]

Если это условие выполнено, трапеция с такими основаниями и боковыми сторонами существует, причём она единственна с точностью до отражения. Если \(a=b\), то получился бы параллелограмм, у которого боковые стороны равны.

Переберём возможные пары оснований:

Получаются две различные трапеции:

1. основания \(15\) и \(17\), боковые стороны \(15\) и \(16\);
2. основания \(16\) и \(17\), боковые стороны \(15\) и \(15\).

Они не конгруэнтны, так как у них разные пары оснований.

Ответ: \(\boxed{2}\).