7

Краткий ответ: 6 целых решений.

1. Упростим первое неравенство:

\[ \frac{x+2}{2}-3\le \frac{x-3}{3} \]

\[ \frac{x-4}{2}\le \frac{x-3}{3} \]

Умножим на \(6>0\):

\[ 3(x-4)\le 2(x-3) \]

\[ 3x-12\le 2x-6 \]

\[ x\le 6 \]

2. Решим второе неравенство:

\[ x^2<5x+6 \]

\[ x^2-5x-6<0 \]

\[ (x-6)(x+1)<0 \]

Парабола ветвями вверх отрицательна между корнями:

\[ -1<x<6 \]

3. Пересекаем условия:

\[ x\le 6 \quad \text{и} \quad -1<x<6 \]

Получаем:

\[ -1<x<6 \]

Целые решения: \(0,1,2,3,4,5\) — всего 6.

Границы \(-1\) и \(6\) не подходят, потому что во втором неравенстве стоит строгий знак \(<\): при этих значениях получается равенство, а не меньше.