Реши задание на изображении

Краткий ответ

Даны: \[ z_1=5+2i,\qquad z_2=2-i \]

1. \[ z_1+z_2=7+i \]

2. \[ z_1-z_2=3+3i \]

3. \[ z_1\cdot z_2=12-i \]

4. \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac85+\frac95 i \]

Как решать

Комплексное число имеет вид \(a+bi\). Складывать и вычитать нужно отдельно действительные и мнимые части.

1) Сложение \[ (5+2i)+(2-i)=(5+2)+(2-1)i=7+i \]

2) Вычитание \[ (5+2i)-(2-i)=5+2i-2+i=3+3i \]

3) Умножение

Раскрываем скобки как обычно и помним, что \[ i^2=-1. \] \[ (5+2i)(2-i)=10-5i+4i-2i^2 \] \[ =10-i-2(-1)=10-i+2=12-i \]

4) Деление

Чтобы избавиться от \(i\) в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к \(2-i\), то есть на \(2+i\): \[ \frac{5+2i}{2-i}\cdot\frac{2+i}{2+i} \] Числитель: \[ (5+2i)(2+i)=10+5i+4i+2i^2=8+9i \] Знаменатель: \[ (2-i)(2+i)=2^2+1^2=5 \] Значит, \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{8+9i}{5}=\frac85+\frac95 i \]

Проверка деления: \[ \left(\frac85+\frac95 i\right)(2-i) =5+2i=z_1 \] Значит, деление выполнено верно.