Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

1. Разложим на множители. Нужно найти два числа, которые:

• в сумме дают \(5\) (так как перед \(x\) стоит \(-5\));
• в произведении дают \(6\) (свободный член).

Это числа \(2\) и \(3\), потому что \(2+3=5\), а \(2\cdot3=6\). Поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \] Значит: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]

2. Проверка. \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба числа подходят.

Если разложение не видно, можно решить через дискриминант: \[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1, \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}. \] Отсюда: \[ x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2. \]

Главный принцип: для уравнения вида \(x^2+px+q=0\) можно искать два числа, сумма которых равна \(-p\), а произведение — \(q\). Тогда корни уравнения — это эти два числа.