Сколько будет корень из 8

Краткий ответ: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}828\)

Как это получается

Шаг 1. Раскладываем число под корнем на множители, один из которых — полный квадрат. \[ 8 = 4 \cdot 2 \] Здесь \(4 = 2^2\) — полный квадрат, а \(2\) — «безквадратный» остаток.

Шаг 2. Применяем свойство корня произведения \(\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) (для \(a, b \ge 0\)): \[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]

Шаг 3. Приближённое значение (если нужно число, а не точная запись): \[ \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \;\Rightarrow\; 2\sqrt{2} \approx 2{,}8284 \]

Почему нельзя «просто посчитать» точно

\(\sqrt{8}\) — иррациональное число: его нельзя записать конечной десятичной дробью или обыкновенной дробью. Поэтому точный ответ — именно \(2\sqrt{2}\), а \(2{,}828\) — только приближение.

Проверка

Возводим ответ в квадрат — должно получиться подкоренное выражение: \[ (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \quad \checkmark \]

Принцип для похожих заданий

1. Ищем среди множителей полный квадрат (4, 9, 16, 25, 36, 49…).
2. Выносим его корень за знак корня, остальное оставляем под корнем.
3. Проверяем возведением в квадрат.

Примеры: \(\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot3} = 2\sqrt{3}\); \(\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot2} = 5\sqrt{2}\); \(\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot2} = 3\sqrt{2}\). Если полного квадрата среди множителей нет (например, \(\sqrt{7}\)), выражение так и остаётся в виде \(\sqrt{7}\).