Сделай

На фото — ровно те же два задания на умножение дробей, которые уже разобраны выше (пункта «3. Выполните действия» здесь нет — видно только два примера).

Ответы

1.
\[ \frac{2x^2-42x+196}{x^2-17x+42}\cdot\frac{3x^2-27}{16x^2-784} =\frac{3(x+3)}{8(x+7)},\qquad x\ne-7,\,3,\,7,\,14. \]

2.
\[ \frac{x^3-2x^2-16x+32}{x^2-4x+4}\cdot\frac{x^2+x-6}{x^3-3x^2-16x+48} =\frac{x+3}{x-3},\qquad x\ne-4,\,2,\,3,\,4. \]

Ключевые шаги

№1. Раскладываем на множители: \[ 2x^2-42x+196=2(x-7)(x-14),\quad x^2-17x+42=(x-3)(x-14), \] \[ 3x^2-27=3(x-3)(x+3),\quad 16x^2-784=16(x-7)(x+7). \]

Сокращаем \((x-7)\), \((x-14)\), \((x-3)\): \[ \frac{2\cdot 3\,(x+3)}{16\,(x+7)}=\frac{3(x+3)}{8(x+7)}. \]

№2. Группировка: \[ x^3-2x^2-16x+32=(x-2)(x^2-16)=(x-2)(x-4)(x+4), \] \[ x^3-3x^2-16x+48=(x-3)(x^2-16)=(x-3)(x-4)(x+4), \] \[ x^2-4x+4=(x-2)^2,\qquad x^2+x-6=(x+3)(x-2). \]

После сокращения \((x-2)\), \((x-4)\), \((x+4)\) остаётся: \[ \frac{x+3}{x-3}. \]

Проверка при \(x=0\): в №1 получается \(\frac{196}{42}\cdot\frac{-27}{-784}=\frac{9}{56}=\frac{3\cdot 3}{8\cdot 7}\); в №2 — \(\frac{32}{4}\cdot\frac{-6}{48}=-1=\frac{3}{-3}\). Всё сходится.

Если нужно, пришлите нижнюю часть листа с заданием 3 — решу его тем же способом.

Ниже — полное решение с разложением каждого многочлена, пошаговым сокращением и ОДЗ.

---

№ 1

\[ \frac{2x^2-42x+196}{x^2-17x+42}\cdot\frac{3x^2-27}{16x^2-784} \]

1. Раскладываем на множители

Числитель первой дроби: \[ 2x^2-42x+196=2(x^2-21x+98). \] По теореме Виета: \(7+14=21,\;7\cdot14=98\), значит \[ 2(x^2-21x+98)=2(x-7)(x-14). \]

Знаменатель первой дроби: \[ x^2-17x+42=(x-3)(x-14), \] так как \(3+14=17,\;3\cdot14=42\).

Числитель второй дроби: \[ 3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3). \]

Знаменатель второй дроби: \[ 16x^2-784=16(x^2-49)=16(x-7)(x+7). \]

2. Подставляем и записываем произведение

\[ \frac{2(x-7)(x-14)}{(x-3)(x-14)}\cdot\frac{3(x-3)(x+3)}{16(x-7)(x+7)} \]

Сводим в одну дробь: \[ \frac{2(x-7)(x-14)\cdot 3(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-14)\cdot 16(x-7)(x+7)}. \]

3. Сокращаем

• \((x-14)\) в числителе и знаменателе — вычёркиваем;
• \((x-7)\) — вычёркиваем;
• \((x-3)\) — вычёркиваем.

Остаётся: \[ \frac{2\cdot 3\,(x+3)}{16\,(x+7)}=\frac{6(x+3)}{16(x+7)}=\frac{3(x+3)}{8(x+7)}. \]

(числитель и знаменатель разделили на 2)

4. ОДЗ

Знаменатели исходных дробей не должны обращаться в нуль:

\[ x^2-17x+42\ne0 \Rightarrow x\ne3,\; x\ne14; \] \[ 16x^2-784\ne0 \Rightarrow x^2\ne49 \Rightarrow x\ne7,\; x\ne-7. \]

\[ \boxed{\text{ОДЗ: } x\ne-7,\;3,\;7,\;14} \]

Ответ № 1

\[ \boxed{\frac{3(x+3)}{8(x+7)}},\qquad x\ne-7,\,3,\,7,\,14. \]

---

№ 2

\[ \frac{x^3-2x^2-16x+32}{x^2-4x+4}\cdot\frac{x^2+x-6}{x^3-3x^2-16x+48} \]

1. Раскладываем на множители

Числитель первой дроби — группировка: \[ x^3-2x^2-16x+32=x^2(x-2)-16(x-2)=(x-2)(x^2-16)=(x-2)(x-4)(x+4). \]

Знаменатель первой дроби — квадрат разности: \[ x^2-4x+4=(x-2)^2. \]

Числитель второй дроби — по Виету (\(3+(-2)=1,\;3\cdot(-2)=-6\)): \[ x^2+x-6=(x+3)(x-2). \]

Знаменатель второй дроби — группировка: \[ x^3-3x^2-16x+48=x^2(x-3)-16(x-3)=(x-3)(x^2-16)=(x-3)(x-4)(x+4). \]

2. Подставляем

\[ \frac{(x-2)(x-4)(x+4)}{(x-2)^2}\cdot\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x+4)} \]

Сводим в одну дробь: \[ \frac{(x-2)(x-4)(x+4)\cdot(x+3)(x-2)}{(x-2)^2\cdot(x-3)(x-4)(x+4)}. \]

3. Сокращаем

• \((x-4)\) и \((x+4)\) — вычёркиваем;
• в числителе множитель \((x-2)\) встречается дважды, то есть \((x-2)^2\), — он полностью сокращается со знаменателем \((x-2)^2\).

Остаётся: \[ \frac{x+3}{x-3}. \]

4. ОДЗ

\[ x^2-4x+4\ne0 \Rightarrow (x-2)^2\ne0 \Rightarrow x\ne2; \] \[ x^3-3x^2-16x+48\ne0 \Rightarrow (x-3)(x-4)(x+4)\ne0 \Rightarrow x\ne3,\;x\ne4,\;x\ne-4. \]

\[ \boxed{\text{ОДЗ: } x\ne-4,\;2,\;3,\;4} \]

Ответ № 2

\[ \boxed{\frac{x+3}{x-3}},\qquad x\ne-4,\,2,\,3,\,4. \]

---

Проверка (подстановкой \(x=0\))

№ 1: \[ \frac{196}{42}\cdot\frac{-27}{-784}=\frac{14}{3}\cdot\frac{27}{784}=\frac{378}{2352}=\frac{9}{56}. \] По ответу: \(\dfrac{3\cdot3}{8\cdot7}=\dfrac{9}{56}\) — совпало.

№ 2: \[ \frac{32}{4}\cdot\frac{-6}{48}=8\cdot\left(-\frac18\right)=-1. \] По ответу: \(\dfrac{3}{-3}=-1\) — совпало.

Оба ответа верны. Если пришлёте нижнюю часть листа с заданием 3, разберу его так же подробно.

Вот подробное решение обоих примеров из задания 2. Используем правило:

\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}. \]

При делении обязательно учитываем, что числитель второй дроби не равен нулю.

---

1.

\[ \frac{x^3-3x^2-16x+48}{x^3-125}:\frac{x^2+x-12}{x^2+5x+25} \]

Раскладываем на множители

Числитель первой дроби — группировка:

\[ x^3-3x^2-16x+48=x^2(x-3)-16(x-3)= \] \[ =(x-3)(x^2-16)=(x-3)(x-4)(x+4). \]

Знаменатель первой дроби — разность кубов:

\[ x^3-125=x^3-5^3=(x-5)(x^2+5x+25). \]

Числитель второй дроби:

\[ x^2+x-12=(x+4)(x-3), \] так как \(4+(-3)=1\), а \(4\cdot(-3)=-12\).

Знаменатель второй дроби \(x^2+5x+25\) на действительные множители не раскладывается: его дискриминант отрицательный.

Заменяем деление умножением

\[ \frac{(x-3)(x-4)(x+4)}{(x-5)(x^2+5x+25)} \cdot \frac{x^2+5x+25}{(x+4)(x-3)}. \]

Сокращаем

Сокращаются множители:

• \(x-3\);
• \(x+4\);
• \(x^2+5x+25\).

Остаётся:

\[ \frac{x-4}{x-5}. \]

ОДЗ

\[ x^3-125\ne0 \Rightarrow x\ne5. \]

\[ x^2+x-12\ne0 \Rightarrow (x+4)(x-3)\ne0 \Rightarrow x\ne-4,\ x\ne3. \]

Кроме того, \(x^2+5x+25\ne0\) при всех действительных \(x\), потому что дискриминант отрицательный.

\[ \boxed{x\ne-4,\ 3,\ 5} \]

Ответ 1

\[ \boxed{\frac{x-4}{x-5}},\qquad x\ne-4,\ 3,\ 5. \]

---

2.

\[ \frac{x^3-9x^2+26x-24}{x^3-2x^2-x+2}: \frac{x^2-6x+8}{x^2-x-2} \]

Раскладываем на множители

Числитель первой дроби:

\[ x^3-9x^2+26x-24=(x-2)(x-3)(x-4). \]

Проверка: \((x-2)(x-3)=x^2-5x+6\), затем \[ (x^2-5x+6)(x-4)=x^3-9x^2+26x-24. \]

Знаменатель первой дроби — группировка:

\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2)= \] \[ =(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1). \]

Числитель второй дроби:

\[ x^2-6x+8=(x-2)(x-4), \] так как \((-2)+(-4)=-6\), а \((-2)\cdot(-4)=8\).

Знаменатель второй дроби:

\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]

Заменяем деление умножением

\[ \frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(x-2)(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x-4)}. \]

Сокращаем

Сокращаются:

• \(x-2\) полностью;
• \(x-4\);
• \(x+1\).

Остаётся:

\[ \frac{x-3}{x-1}. \]

ОДЗ

Из знаменателя первой дроби:

\[ (x-2)(x-1)(x+1)\ne0 \Rightarrow x\ne2,\ x\ne1,\ x\ne-1. \]

Из знаменателя второй дроби:

\[ (x-2)(x+1)\ne0 \Rightarrow x\ne2,\ x\ne-1. \]

И числитель второй дроби не должен быть нулём, иначе делить нельзя:

\[ x^2-6x+8\ne0 \Rightarrow (x-2)(x-4)\ne0 \Rightarrow x\ne2,\ x\ne4. \]

Объединяем:

\[ \boxed{x\ne-1,\ 1,\ 2,\ 4} \]

Ответ 2

\[ \boxed{\frac{x-3}{x-1}},\qquad x\ne-1,\ 1,\ 2,\ 4. \]

---

Итог

\[ \boxed{\text{1) }\frac{x-4}{x-5},\quad x\ne-4,3,5} \]

\[ \boxed{\text{2) }\frac{x-3}{x-1},\quad x\ne-1,1,2,4} \]

Вот подробное решение обоих примеров. При делении дробей первую дробь умножаем на перевёрнутую вторую: \[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}. \]

---

Пример 1

\[ \frac{x^3-3x^2-16x+48}{x^3-125}:\frac{x^2+x-12}{x^2+5x+25} \]

1. Раскладываем на множители

Числитель первой дроби — группировка: \[ x^3-3x^2-16x+48=x^2(x-3)-16(x-3)= \] \[ =(x-3)(x^2-16)=(x-3)(x-4)(x+4). \]

Знаменатель первой дроби — разность кубов: \[ x^3-125=x^3-5^3=(x-5)(x^2+5x+25). \]

Числитель второй дроби: \[ x^2+x-12=(x+4)(x-3). \]

Знаменатель второй дроби: \[ x^2+5x+25 \] на множители с действительными числами не раскладывается, так как его дискриминант отрицательный.

2. Переворачиваем вторую дробь

\[ \frac{(x-3)(x-4)(x+4)}{(x-5)(x^2+5x+25)} \cdot \frac{x^2+5x+25}{(x+4)(x-3)}. \]

3. Сокращаем

Сокращаются:

• \((x-3)\),
• \((x+4)\),
• \((x^2+5x+25)\).

Остаётся: \[ \frac{x-4}{x-5}. \]

4. ОДЗ

Исходные знаменатели и числитель второй дроби не должны обращаться в нуль.

\[ x^3-125\ne0 \Rightarrow x\ne5, \] \[ x^2+5x+25\ne0 \] — корней нет, выражение всегда положительно.

Также нельзя делить на дробь, у которой числитель равен нулю: \[ x^2+x-12\ne0 \Rightarrow (x+4)(x-3)\ne0, \] значит \[ x\ne-4,\qquad x\ne3. \]

\[ \boxed{\text{ОДЗ: }x\ne-4,\;3,\;5} \]

Ответ

\[ \boxed{\frac{x-4}{x-5}},\qquad x\ne-4,\;3,\;5. \]

---

Пример 2

\[ \frac{x^3-9x^2+26x-24}{x^3-2x^2-x+2}:\frac{x^2-6x+8}{x^2-x-2} \]

1. Раскладываем на множители

Числитель первой дроби: \[ x^3-9x^2+26x-24= \] \[ =x^3-2x^2-7x^2+14x+12x-24= \] \[ =x^2(x-2)-7x(x-2)+12(x-2)= \] \[ =(x-2)(x^2-7x+12)=(x-2)(x-3)(x-4). \]

Знаменатель первой дроби: \[ x^3-2x^2-x+2= \] \[ =x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)= \] \[ =(x-2)(x-1)(x+1). \]

Числитель второй дроби: \[ x^2-6x+8=(x-2)(x-4). \]

Знаменатель второй дроби: \[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]

2. Переворачиваем вторую дробь

\[ \frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(x-2)(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x-4)}. \]

3. Сокращаем

Сокращаются:

• \((x-2)^2\),
• \((x+1)\),
• \((x-4)\).

Остаётся: \[ \frac{x-3}{x-1}. \]

4. ОДЗ

Первый знаменатель: \[ (x-2)(x-1)(x+1)\ne0, \] откуда \[ x\ne2,\qquad x\ne1,\qquad x\ne-1. \]

Числитель второй дроби не равен нулю: \[ x^2-6x+8\ne0, \] \[ (x-2)(x-4)\ne0, \] значит \[ x\ne2,\qquad x\ne4. \]

Объединяем ограничения: \[ \boxed{\text{ОДЗ: }x\ne-1,\;1,\;2,\;4} \]

Ответ

\[ \boxed{\frac{x-3}{x-1}},\qquad x\ne-1,\;1,\;2,\;4. \]

---

Быстрая проверка подстановкой \(x=0\)

Пример 1: \[ \frac{48}{-125}:\frac{-12}{25} = \frac{48}{-125}\cdot\frac{25}{-12} = \frac45. \] По ответу: \[ \frac{0-4}{0-5}=\frac45. \]

Пример 2: \[ \frac{-24}{2}:\frac{8}{-2}=(-12):(-4)=3. \] По ответу: \[ \frac{0-3}{0-1}=3. \]

Оба ответа верны.

№ 3

\[ \frac{a^2}{a^2-1}+\frac{1}{a+1}:\left(\frac{1}{2-a}+\frac{2}{a^2-2a}\right) \]

Сначала выполняем действие в скобках:

\[ \frac{1}{2-a}+\frac{2}{a^2-2a} = \frac{1}{2-a}+\frac{2}{a(a-2)} \]

Так как \(2-a=-(a-2)\), то

\[ \frac{1}{2-a}=-\frac{1}{a-2}. \]

Поэтому

\[ -\frac{1}{a-2}+\frac{2}{a(a-2)} = \frac{-a+2}{a(a-2)} = \frac{-(a-2)}{a(a-2)} = -\frac{1}{a}. \]

Теперь деление:

\[ \frac{1}{a+1}:\left(-\frac{1}{a}\right) = \frac{1}{a+1}\cdot(-a) = -\frac{a}{a+1}. \]

Подставляем в исходное выражение:

\[ \frac{a^2}{a^2-1}-\frac{a}{a+1}. \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{a^2}{(a-1)(a+1)}-\frac{a(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2-a^2+a}{(a-1)(a+1)} = \frac{a}{a^2-1}. \]

ОДЗ

Исходные знаменатели не равны нулю:

\[ a^2-1\ne0 \Rightarrow a\ne\pm1, \] \[ a+1\ne0 \Rightarrow a\ne-1, \] \[ 2-a\ne0 \Rightarrow a\ne2, \] \[ a^2-2a\ne0 \Rightarrow a(a-2)\ne0 \Rightarrow a\ne0,\ a\ne2. \]

Также на ноль нельзя делить, то есть

\[ \frac{1}{2-a}+\frac{2}{a^2-2a}\ne0. \]

Но это выражение равно \(-\frac1a\), поэтому \(a\ne0\), что уже учтено.

\[ \boxed{\text{ОДЗ: }a\ne-1,\ 0,\ 1,\ 2} \]

Ответ

\[ \boxed{\frac{a}{a^2-1}},\qquad a\ne-1,\ 0,\ 1,\ 2. \]

---

Нижняя часть задания № 4 на фото обрезана: видно только название «Задача на движение». Пришлите полный текст задачи, и я её решу.