Реши задание на изображении
Коротко.
Для \(z=a+bi\):
\[
r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad
z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}.
\]
Геометрически комплексному числу соответствует точка/вектор \((a;b)\).
2*) Три вектора
Для \(z=a+bi\):
- \(z=a+bi\) — вектор в точку \((a;b)\);
- сопряжённое \(\overline z=a-bi\) — вектор в точку \((a;-b)\);
- противоположное \(-z=-a-bi\) — вектор в точку \((-a;-b)\).
То есть сопряжённое — симметрия относительно действительной оси, противоположное — симметрия относительно начала координат.
Например, для \(z_2=2-i\): \[ z_2 \to (2;-1),\qquad \overline{z_2}\to(2;1),\qquad -z_2\to(-2;1). \]
3) Тригонометрическая, показательная и геометрическая формы
| \(z\) | \(r\) | \(\varphi\) | Тригонометрическая | Показательная | Геометрическая |
|---|---|---|---|---|---|
| \(1+i\) | \(\sqrt2\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\) | \(\sqrt2\,e^{i\pi/4}\) | точка \((1;1)\) |
| \(4i\) | \(4\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\) | \(4e^{i\pi/2}\) | точка \((0;4)\) |
| \(1-\sqrt3 i\) | \(2\) | \(-\frac{\pi}{3}\) | \(2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\) | \(2e^{-i\pi/3}\) | точка \((1;-\sqrt3)\) |
Для третьего числа можно записать угол и как \(\frac{5\pi}{3}\): \[ 2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=2e^{i5\pi/3}. \]
Как это получать:
- Берём \(a=\operatorname{Re}z\), \(b=\operatorname{Im}z\).
- Считаем \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Находим угол \(\varphi\) по象限: \(\cos\varphi=\frac ar\), \(\sin\varphi=\frac br\).
- Подставляем в \(r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\) и \(re^{i\varphi}\).
Проверка: раскрываем скобки, например: \[ 2\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right) =2\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right) =1-\sqrt3 i. \] Всё сходится.
Пункт 4 на фото обрезан — сами комплексные числа не видны, поэтому его по этому снимку решить нельзя.
