Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$ (корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$).
Как это получается
Шаг 1. Замечаем закономерность. У уравнения вида $x^2 - 5x + 6 = 0$ коэффициент при $x$ равен $-5$, а свободный член равен $6$. Ищем два числа, которые:
- при умножении дают $6$;
- при сложении дают $5$.
Шаг 2. Подбираем пары. Проверяем все пары множителей числа $6$:
| Пара | Произведение | Сумма |
|---|---|---|
| $1$ и $6$ | $6$ | $7$ — не подходит |
| $2$ и $3$ | $6$ | $5$ — подходит! |
Значит, это числа $2$ и $3$.
Шаг 3. Записываем разложение на множители. Подходящие числа дают: $$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$
Можно убедиться раскрытием скобок: $x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$ — всё сходится.
Шаг 4. Используем главное правило. Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю: $$(x-2)(x-3) = 0 ;\Rightarrow; x - 2 = 0 \text{ или } x - 3 = 0,$$ откуда $x = 2$ или $x = 3$.
Проверка
- $x = 2$: $;2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ ✓
- $x = 3$: $;3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓
Принцип, который стоит запомнить
Если уравнение приведено к виду $x^2 + px + q = 0$, то его корни — это два числа, у которых произведение равно $q$, а сумма равна $-p$. Найдя такую пару, вы сразу получаете ответ — и он всегда проверяется подстановкой.
