Реши задание на изображении

Краткий ответ

Даны
\[ z_1=4-2i,\qquad z_2=6+3i,\qquad z_3=i-2=-2+i. \]

1. \[ z_1+z_2=10+i,\qquad z_3-z_1=-6+3i,\qquad z_2-z_1=2+5i. \]

2. \[ z_1z_2=30,\qquad z_3z_1=-6+8i. \]

3. \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac25-\frac{8}{15}i. \]

4. \[ z_1^2=12-16i. \]

5. На комплексной плоскости:
   \[ z_1(4;-2),\quad z_2(6;3),\quad z_3(-2;1). \]
   По горизонтали откладываем действительную часть, по вертикали — мнимую.

6. \[ x^2+25=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 5i. \]

7. \[ x^2+4x+13=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2\pm 3i. \]

8. Если уравнение \(x^4+x^2-20=0\), то \[ x=\pm2,\qquad x=\pm i\sqrt5. \]

Как это получается

Комплексное число имеет вид \(a+bi\), где \(i^2=-1\).
Складываем и вычитаем по отдельности действительные и мнимые части.

1. Сложение и вычитание

\[ z_1+z_2=(4+6)+(-2+3)i=10+i. \]

\[ z_3-z_1=(-2-4)+(1-(-2))i=-6+3i. \]

\[ z_2-z_1=(6-4)+(3-(-2))i=2+5i. \]

2. Умножение

\[ z_1z_2=(4-2i)(6+3i) =24+12i-12i-6i^2. \] Так как \(i^2=-1\), то \(-6i^2=6\), поэтому \[ z_1z_2=24+6=30. \]

\[ z_3z_1=(-2+i)(4-2i) =-8+4i+4i-2i^2=-6+8i. \]

3. Деление

При делении умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю, то есть на \(6-3i\):

\[ \frac{4-2i}{6+3i} = \frac{(4-2i)(6-3i)}{(6+3i)(6-3i)} = \frac{18-24i}{45}. \]

Сокращаем: \[ \frac{18}{45}=\frac25,\qquad \frac{24}{45}=\frac{8}{15}. \] Значит, \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac25-\frac{8}{15}i. \]

4. Возведение в квадрат

\[ (4-2i)^2=16-16i+4i^2=16-16i-4=12-16i. \]

5. Изображение на плоскости

Точки имеют координаты:

\[ z_1:(4;-2),\quad z_2:(6;3),\quad z_3:(-2;1). \]

Их просто отмечают на координатной плоскости: ось \(x\) — действительная часть, ось \(y\) — мнимая.

6–7. Уравнения

\[ x^2+25=0 \] \[ x^2=-25 \] \[ x=\pm\sqrt{-25}=\pm 5i. \]

Для второго уравнения: \[ x^2+4x+13=0, \] \[ D=16-52=-36. \] В комплексных числах \(\sqrt{-36}=6i\), поэтому \[ x=\frac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i. \]

В действительных числах у уравнений 6 и 7 корней нет, а в комплексных — есть.

8. Уравнение четвёртой степени

Пусть \(t=x^2\). Тогда \[ t^2+t-20=0. \] Корни: \[ t_1=4,\qquad t_2=-5. \] Значит: \[ x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2, \] \[ x^2=-5 \quad\Rightarrow\quad x=\pm i\sqrt5. \]

Проверка:
\[ \left(\frac25-\frac{8}{15}i\right)(6+3i)=4-2i, \] поэтому деление в п. 3 выполнено верно.

В п. 8 нижняя строка на фото обрезана; я прочитал уравнение как \(x^4+x^2-20=0\). Если там стоит другое число, уточни.