Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$ (оба корня действительные, разных знаков нет — оба положительные).
Способ 1. По теореме Виета (самый быстрый)
Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ (коэффициент при $x^2$ равен 1) сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$.
У нас $p = -5$, $q = 6$, значит:
$$x_1 + x_2 = 5, \qquad x_1 \cdot x_2 = 6.$$
Ищем два числа с произведением 6 и суммой 5 — это 2 и 3:
$$2 \cdot 3 = 6, \qquad 2 + 3 = 5.$$
Отсюда разложение на множители:
$$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0.$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $x - 2 = 0$ или $x - 3 = 0$, то есть $x = 2$ или $x = 3$.
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)
$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$$
$D > 0$ — два корня:
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}.$$
$$x_1 = \frac{5-1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3.$$
Проверка
- $x = 2$: $4 - 10 + 6 = 0$ ✔
- $x = 3$: $9 - 15 + 6 = 0$ ✔
Принцип, который стоит запомнить
- Если уравнение приведённое и корни целые — Виет быстрее: подбираешь два числа по сумме и произведению.
- Если подбор не идёт (корни дробные или с корнем) — считай дискриминант: $D > 0$ — два корня, $D = 0$ — один, $D < 0$ — действительных корней нет.
- Всегда подставляй найденные корни обратно — это ловит ошибки со знаками.
Обсуждение
2 сообщенияА как быть, если корни не целые?
Коротко
Теорема Виета верна для любых корней — и дробных, и иррациональных. Просто «подобрать в уме» два числа по сумме и произведению там уже не получится, поэтому основной инструмент — дискриминант. А Виет остаётся для проверки.
Как это работает
1. Дискриминант считаем всегда одинаково.
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
- $D$ — полный квадрат (1, 4, 9, 16…) → корни рациональные, часто целые или «хорошие» дроби;
- $D > 0$, но не полный квадрат → корни иррациональные, ответ так и оставляют с корнем;
- $D = 0$ → единственный корень $x = -\frac{b}{2a}$;
- $D < 0$ → действительных корней нет.
2. Виет — для проверки, в общем виде:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
(при $a = 1$ это привычные $-b$ и $c$).
Пример 1: дробные корни (коэффициент $a \neq 1$)
$$2x^2 - 7x + 3 = 0$$
$$D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25, \quad \sqrt{D} = 5$$
$$x_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{4} ;\Rightarrow; x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{12}{4} = 3.$$
Проверка по Виету: $\frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} = -\frac{b}{a}$ ✔, $\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = \frac{c}{a}$ ✔
Пример 2: иррациональные корни
$$x^2 - 5x + 3 = 0$$
$$D = 25 - 12 = 13 ;\Rightarrow; x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}.$$
Числа «некрасивые», но это законный точный ответ — не надо заменять его округлением, если в задании не просят. Проверка: $\frac{5+\sqrt{13}}{2} + \frac{5-\sqrt{13}}{2} = 5$ ✔, произведение $\frac{25-13}{4} = 3$ ✔.
Принцип на будущее
- Пробуешь подбор по Виету — сработал, пишешь ответ за 10 секунд.
- Не сработал (или $a \neq 1$) → дискриминант, формула корней.
- Каждый корень подставляешь обратно или сверяешь сумму/произведение с $-b/a$ и $c/a$ — так ловятся ошибки со знаками.
Хочешь, дам 2–3 уравнения на тренировку — с ответами для самопроверки?
