Как рисовать графики

Коротко: график уравнения \(F(x,y)=0\) — это все точки плоскости \((x,y)\), при подстановке которых получается верное равенство. Это не всегда график функции \(y=f(x)\): бывают несколько ветвей и даже целые области.

Общий порядок действий

1. Найди ограничения: например, из-за \(|y-2|\) уравнение придётся рассматривать отдельно при \(y\ge2\) и \(y<2\).
2. Проверь симметрии: если при замене \(x\) на \(-x\) уравнение не меняется, график симметричен оси \(Oy\); если \(y\) на \(-y\) — оси \(Ox\).
3. Раскрой модули по знакам: \[ |a|=\begin{cases} a, & a\ge0,\\ -a, & a<0. \end{cases} \]
4. Узнай стандартную кривую: прямую, параболу, окружность и т. д. Если уравнение с \(x^2+y^2\), выделяй полный квадрат.
5. Отметь характерные точки: вершины, точки пересечения с осями, концы дуг, точки излома модулей.
6. Проверь 2–3 точки подстановкой.

Пример 1: \(|x|+|y|=2\)

В первой четверти \(x\ge0,\ y\ge0\): \[ x+y=2. \] Это отрезок от \((2,0)\) до \((0,2)\). Из-за симметрии по обеим осям отражаем его в остальные четверти. Получается ромб с вершинами \[ (2,0),\ (0,2),\ (-2,0),\ (0,-2). \]

Пример 2: \(|x|+|y-2|=y\)

Сначала замечаем: левая часть неотрицательна, значит \(y\ge0\).

• Если \(0\le y<2\), то \(|y-2|=2-y\): \[ |x|+2-y=y \Rightarrow y=1+\frac{|x|}{2}. \] Это «угол» с вершиной \((0,1)\), концы — \((-2,2)\) и \((2,2)\).

• Если \(y\ge2\), то \(|y-2|=y-2\): \[ |x|+y-2=y \Rightarrow |x|=2. \] Значит, добавляются вертикальные лучи \(x=-2\) и \(x=2\) при \(y\ge2\).

Итог: V-образная нижняя часть и два вертикальных луча вверх.

Пример 3: \(x^2+y^2+4x=0\)

Выделяем полный квадрат: \[ x^2+4x+y^2=0, \] \[ (x+2)^2-4+y^2=0, \] \[ (x+2)^2+y^2=4. \] Это окружность с центром \((-2,0)\) и радиусом \(2\). Проверка: точки \((0,0)\), \((-4,0)\), \((-2,2)\) удовлетворяют уравнению.

Что получается для остальных номеров с доски

1. \(|x|+|y|=2\) — ромб с вершинами \((\pm2,0),(0,\pm2)\).
2. \(|x|-|y|=2\) — две «галочки» с вершинами \((\pm2,0)\): \(x=\pm(2+|y|)\).
3. \(|x|+|y-2|=y\) — нижний V-образный участок и вертикальные лучи \(x=\pm2\) вверх.
4. \(|x+y|-|x-y|=1\) — два противоположных прямых угла с вершинами \(\left(\frac12,\frac12\right)\) и \(\left(-\frac12,-\frac12\right)\).
5. \((x+|x|)^2+(y+|y|)^2=4\) — четверть окружности \(x^2+y^2=1\) в первой четверти плюс лучи \(y=1\) влево и \(x=1\) вниз.
6. \(x^4-y^4=0\) — две прямые \(y=x\) и \(y=-x\).
7. \(x^4-y^2=0\) — две параболы \(y=x^2\) и \(y=-x^2\).
8. \(x^2+y^2+4x=0\) — окружность с центром \((-2,0)\), радиусом \(2\).
9. \(|x|+x=|y|+y\) — вся область \(x\le0,\ y\le0\) вместе с осями и луч \(y=x\) при \(x\ge0\). Это не только линия, а закрашенная область плюс луч.
10. Если №10 записан как \(x^2-y^2=x^4\), то это «восьмёрка»: \(y^2=x^2(1-x^2)\), \(-1\le x\le1\).