Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$

Проверка: $2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0$ ✓; $3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0$ ✓

Как это получается

Шаг 1. Разложить на множители (быстрый способ). Ищем два числа, у которых сумма равна $5$ (то есть $-b$), а произведение равно $6$ (то есть $c$). Это $2$ и $3$: $2+3=5$, $2\cdot3=6$.

Значит: $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$

Шаг 2. Правило нуля произведения. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $$x-2=0 ;\text{или}; x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 ;\text{или}; x=3$$

Шаг 3. Универсальная проверка через дискриминант (работает всегда, даже когда корни «некрасивые»): $$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$ $$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}\quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{6}{2}=3,; x_2=\frac{4}{2}=2$$

Оба способа дают одно и то же — это и есть контроль результата.

Принцип, который стоит запомнить

Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ (коэффициент при $x^2$ равен 1) по теореме Виета: $$x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q$$

То есть сумма корней равна второму коэффициенту с минусом, а произведение — свободному члену. Здесь $p=-5$, $q=6$: сумма $5$, произведение $6$ — сразу видно $2$ и $3$.

Алгоритм для любого такого задания:

1. Проверь, что уравнение приведённое ($a=1$); если нет — раздели всё на $a$ или сразу считай через дискриминант.
2. Подбери два числа по сумме и произведению.
3. Запиши корни и подставь их в исходное уравнение для проверки.