Реши задание на изображении
Краткий ответ:
\[
x=\frac{17}{25},\qquad y=\frac{2}{25}.
\]
(Предполагается, что \(x\) и \(y\) — действительные числа, как обычно в таких заданиях.)
Как решать:
Раскрой скобки, учитывая, что \(i^2=-1\): \[ (4+i)(x+yi)=4x+4yi+ix+i^2y=4x+4yi+ix-y=(4x-y)+i(4y+x). \]
Подставь это в исходное уравнение: \[ 2x+(4x-y)+i(4y+x)=4+i. \] Сгруппируй: \[ (6x-y)+i(x+4y)=4+i. \]
Два комплексных числа равны, когда равны их действительные и мнимые части. Поэтому: \[ \begin{cases} 6x-y=4,\\ x+4y=1. \end{cases} \]
Реши систему. Из первого уравнения \(y=6x-4\). Подставь во второе: \[ x+4(6x-4)=1 \;\Longrightarrow\; x+24x-16=1 \;\Longrightarrow\; 25x=17 \;\Longrightarrow\; x=\frac{17}{25}. \] Тогда \[ y=6\cdot\frac{17}{25}-4=\frac{102}{25}-\frac{100}{25}=\frac{2}{25}. \]
Проверка:
\[
6x-y=6\cdot\frac{17}{25}-\frac{2}{25}=\frac{102-2}{25}=4,
\]
\[
x+4y=\frac{17}{25}+4\cdot\frac{2}{25}=\frac{17+8}{25}=1.
\]
Всё сходится.
Принцип для похожих заданий:
Приведи уравнение к виду \(A+Bi=C+Di\), где \(A,B,C,D\) — действительные числа. Затем приравняй \(A=C\) и \(B=D\). Получится система уравнений для неизвестных действительных \(x,y\). Не забывай, что \(i^2=-1\).
