Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x_1 = 2,\quad x_2 = 3$$
Ключевая идея
Уравнение приведённое: коэффициент при $x^2$ равен 1, то есть имеет вид
$$x^2 + px + q = 0, \quad p = -5,\ q = 6.$$
Для такого уравнения работают формулы Виета:
$$x_1 + x_2 = -p = 5, \qquad x_1 \cdot x_2 = q = 6.$$
То есть нужно найти два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6.
Шаги решения
1. Подбираем числа под Виета. Произведение 6 дают пары: $1\cdot 6$, $2\cdot 3$ (и такие же с минусами). Проверяем сумму:
- $1 + 6 = 7$ — не подходит;
- $2 + 3 = 5$ — подходит.
Значит корни 2 и 3.
2. Тот же результат через разложение на множители. $$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3).$$
3. Применяем главное правило: $$(x-2)(x-3) = 0 ;\Rightarrow; x - 2 = 0 \ \text{или}\ x - 3 = 0,$$ потому что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.
Отсюда $x = 2$ или $x = 3$.
Проверка
- $x = 2$: $\ 4 - 10 + 6 = 0$ ✔
- $x = 3$: $\ 9 - 15 + 6 = 0$ ✔
Оба корня подходят, ответ верный.
Как решать похожие
- Убедись, что уравнение приведённое (коэффициент при $x^2$ равен 1). Если нет — раздели все члены на этот коэффициент.
- Ищи делители свободного члена $q$: именно среди них прячутся целые корни.
- Проверь пару по сумме: $x_1 + x_2 = -p$.
- Обязательно подставь корни в исходное уравнение — это ловит ошибки со знаками.
Например, для $x^2 + 7x + 12 = 0$: сумма $-7$, произведение $12$ → числа $-3$ и $-4$, ответ $x_1 = -3$, $x_2 = -4$.
