Номер 1193
Кратко: \(k\in\mathbb Z\).
- \(\;x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\)
- \(\;x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad x=\arcsin\dfrac23+2\pi k,\quad x=\pi-\arcsin\dfrac23+2\pi k\)
- \(\;x=\pi+2\pi k,\quad x=\pm\arccos\dfrac34+2\pi k\)
- \(\;x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\)
Общий принцип
В уравнениях этого номера есть и \(\sin x\), и \(\cos^2 x\) — или наоборот. Используем основное тождество:
\[ \sin^2x+\cos^2x=1. \]
Например,
\[ \cos^2x=1-\sin^2x. \]
Тогда уравнение сводится к квадратному относительно \(t=\sin x\) или \(t=\cos x\). После решения обязательно учитываем, что
\[ -1\le t\le 1. \]
Корни вне этого промежутка отбрасываем.
1) \(2\cos^2x-\sin x+1=0\)
Положим \(t=\sin x\), тогда \(\cos^2x=1-t^2\):
\[ 2(1-t^2)-t+1=0, \]
\[ -2t^2-t+3=0, \]
\[ 2t^2+t-3=0. \]
Корни:
\[ t=1,\qquad t=-\frac32. \]
Второй корень не подходит, так как синус не может быть меньше \(-1\). Значит,
\[ \sin x=1. \]
Отсюда
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.} \]
2) \(3\cos^2x-\sin x-1=0\)
Снова \(t=\sin x\):
\[ 3(1-t^2)-t-1=0, \]
\[ -3t^2-t+2=0, \]
\[ 3t^2+t-2=0. \]
Корни:
\[ t=\frac23,\qquad t=-1. \]
Оба входят в \([-1;1]\).
Если \(\sin x=-1\), то
\[ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]
Если \(\sin x=\frac23\), то
\[ x=\arcsin\frac23+2\pi k \]
или
\[ x=\pi-\arcsin\frac23+2\pi k. \]
Ответ:
\[ \boxed{ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad x=\arcsin\frac23+2\pi k,\quad x=\pi-\arcsin\frac23+2\pi k. } \]
3) \(4\sin^2x-\cos x-1=0\)
Теперь удобно положить \(t=\cos x\), а \(\sin^2x=1-t^2\):
\[ 4(1-t^2)-t-1=0, \]
\[ -4t^2-t+3=0, \]
\[ 4t^2+t-3=0. \]
Корни:
\[ t=\frac34,\qquad t=-1. \]
Значит:
\[ \cos x=\frac34 \]
или
\[ \cos x=-1. \]
Отсюда:
\[ x=\pm\arccos\frac34+2\pi k \]
и
\[ x=\pi+2\pi k. \]
Ответ:
\[ \boxed{ x=\pm\arccos\frac34+2\pi k,\quad x=\pi+2\pi k. } \]
4) \(2\sin^2x+3\cos x=0\)
Пусть \(t=\cos x\), \(\sin^2x=1-t^2\):
\[ 2(1-t^2)+3t=0, \]
\[ -2t^2+3t+2=0, \]
\[ 2t^2-3t-2=0. \]
Корни:
\[ t=2,\qquad t=-\frac12. \]
Корень \(t=2\) невозможен, так как \(\cos x\le 1\). Остаётся:
\[ \cos x=-\frac12. \]
Тогда
\[ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.} \]
Проверка: во всех случаях отброшены только значения синуса или косинуса, выходящие за пределы \([-1;1]\), а оставшиеся углы действительно удовлетворяют исходным уравнениям.
Обсуждение
4 сообщенияА дескриминант в 1 будет 3?
Нет, в первом уравнении дискриминант равен 25, а не 3.
После подстановки \(t=\sin x\):
\[ 2\cos^2x-\sin x+1=0 \]
\[ 2(1-t^2)-t+1=0 \]
\[ -2t^2-t+3=0 \]
Умножим на \(-1\):
\[ 2t^2+t-3=0 \]
Теперь:
\[ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25 \]
\[ \sqrt D=5 \]
Корни:
\[ t=\frac{-1\pm5}{4} \]
\[ t_1=1,\qquad t_2=-\frac32 \]
Корень \(t=-\frac32\) не подходит, потому что \(\sin x\in[-1;1]\). Остаётся \(\sin x=1\), откуда
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k.} \]
То есть \(3\) здесь — это свободный член уравнения, а дискриминант \(D=25\).
Откуда 3 появился если там 1 должен быть
Потому что в уравнении есть два числа, которые складываются: \(2\) из раскрытия скобки и исходная \(+1\).
Подставляем \(t=\sin x\), \(\cos^2x=1-t^2\):
\[ 2\cos^2x-\sin x+1=0 \]
\[ 2(1-t^2)-t+1=0 \]
Раскрываем скобку:
\[ 2-2t^2-t+1=0 \]
Теперь \(2+1=3\), поэтому:
\[ -2t^2-t+3=0 \]
Если умножить на \(-1\):
\[ 2t^2+t-3=0 \]
То есть свободный член равен \(3\), потому что \(2\cdot1+1=3\). Исходная единица не пропала — она сложилась с двойкой.
Дискриминант:
\[ D=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25 \]
Корни: \(t=1\) и \(t=-\frac32\). Подходит только \(\sin x=1\), значит
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k.} \]
