Ниже полное решение первых четырёх уравнений.

1) \(x^4-17x^2+16=0\)

Замена: \[ t=x^2,\quad t\ge 0 \] Получаем: \[ t^2-17t+16=0 \] Дискриминант: \[ D=(-17)^2-4\cdot1\cdot16=289-64=225=15^2 \] Корни: \[ t_{1,2}=\frac{17\pm15}{2} \] \[ t_1=16,\qquad t_2=1 \] Оба значения подходят, так как \(t\ge0\).

Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=16 \Rightarrow x=\pm4 \] \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \]

Ответ: \[ x=\pm1;\ \pm4 \]

---

2) \(x^4-x^2-12=0\)

Замена: \[ t=x^2,\quad t\ge0 \] Получаем: \[ t^2-t-12=0 \] Дискриминант: \[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49=7^2 \] Корни: \[ t_{1,2}=\frac{1\pm7}{2} \] \[ t_1=4,\qquad t_2=-3 \] Так как \(t=x^2\ge0\), корень \(t=-3\) не подходит.

Остаётся: \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \]

Ответ: \[ x=\pm2 \]

---

3) \(9x^3-27x^2=0\)

Вынесем общий множитель: \[ 9x^2(x-3)=0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x^2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \] Тогда: \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=3 \]

Здесь дискриминант не нужен: уравнение решается разложением на множители.

Ответ: \[ x=0;\ 3 \]

---

4) \((x^2-2)^2-4(x^2-2)+3=0\)

Замена: \[ t=x^2-2 \] Получаем: \[ t^2-4t+3=0 \] Дискриминант: \[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4=2^2 \] Корни: \[ t_{1,2}=\frac{4\pm2}{2} \] \[ t_1=3,\qquad t_2=1 \]

Возвращаемся к \(x\):

1. Если \(t=3\): \[ x^2-2=3 \] \[ x^2=5 \] \[ x=\pm\sqrt5 \]

2. Если \(t=1\): \[ x^2-2=1 \] \[ x^2=3 \] \[ x=\pm\sqrt3 \]

Ответ: \[ x=\pm\sqrt3;\ \pm\sqrt5 \]

Разберём ещё подробнее, с пояснением каждого шага.

1) \(x^4-17x^2+16=0\)

Это биквадратное уравнение. Делаем замену:

\[ t=x^2,\qquad t\ge 0 \]

Почему \(t\ge0\)? Потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Получаем квадратное уравнение:

\[ t^2-17t+16=0 \]

Здесь:

\[ a=1,\quad b=-17,\quad c=16 \]

Дискриминант:

\[ D=b^2-4ac \]

\[ D=(-17)^2-4\cdot1\cdot16=289-64=225 \]

\[ \sqrt D=\sqrt{225}=15 \]

Корни:

\[ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

\[ t_{1,2}=\frac{17\pm15}{2} \]

\[ t_1=\frac{17+15}{2}=\frac{32}{2}=16 \]

\[ t_2=\frac{17-15}{2}=\frac{2}{2}=1 \]

Оба корня \(t=16\) и \(t=1\) подходят, так как они неотрицательные.

Возвращаемся к \(x\):

\[ x^2=16 \]

\[ x=\pm4 \]

и

\[ x^2=1 \]

\[ x=\pm1 \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\pm1;\ \pm4} \]

То есть:

\[ \boxed{x=-4;\ -1;\ 1;\ 4} \]

---

2) \(x^4-x^2-12=0\)

Снова биквадратное уравнение. Замена:

\[ t=x^2,\qquad t\ge0 \]

Получаем:

\[ t^2-t-12=0 \]

Это квадратное уравнение, где:

\[ a=1,\quad b=-1,\quad c=-12 \]

Дискриминант:

\[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12) \]

\[ D=1+48=49 \]

\[ \sqrt D=7 \]

Корни:

\[ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

\[ t_{1,2}=\frac{1\pm7}{2} \]

\[ t_1=\frac{1+7}{2}=4 \]

\[ t_2=\frac{1-7}{2}=-3 \]

Корень \(t=-3\) не подходит, потому что \(x^2\) не может быть отрицательным.

Остаётся:

\[ x^2=4 \]

\[ x=\pm2 \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\pm2} \]

То есть:

\[ \boxed{x=-2;\ 2} \]

---

3) \(9x^3-27x^2=0\)

Это уравнение решается разложением на множители. Общий множитель — \(9x^2\):

\[ 9x^3-27x^2=9x^2(x-3) \]

Получаем:

\[ 9x^2(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Так как \(9\neq0\), то:

\[ x^2=0 \]

или

\[ x-3=0 \]

Отсюда:

\[ x=0 \]

или

\[ x=3 \]

Здесь дискриминант не нужен, потому что уравнение третьей степени и оно легко раскладывается на множители.

Ответ:

\[ \boxed{x=0;\ 3} \]

---

4) \((x^2-2)^2-4(x^2-2)+3=0\)

Удобно сделать замену:

\[ t=x^2-2 \]

Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2-4t+3=0 \]

Здесь:

\[ a=1,\quad b=-4,\quad c=3 \]

Дискриминант:

\[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3 \]

\[ D=16-12=4 \]

\[ \sqrt D=2 \]

Корни:

\[ t_{1,2}=\frac{4\pm2}{2} \]

\[ t_1=\frac{4+2}{2}=3 \]

\[ t_2=\frac{4-2}{2}=1 \]

Возвращаемся к \(x\).

Если \(t=3\)

\[ x^2-2=3 \]

\[ x^2=5 \]

\[ x=\pm\sqrt5 \]

Если \(t=1\)

\[ x^2-2=1 \]

\[ x^2=3 \]

\[ x=\pm\sqrt3 \]

Оба значения \(x^2=5\) и \(x^2=3\) положительные, значит, корни действительные.

Ответ:

\[ \boxed{x=\pm\sqrt3;\ \pm\sqrt5} \]

---

Итоговые ответы

1. \(\boxed{x=\pm1;\ \pm4}\)

2. \(\boxed{x=\pm2}\)

3. \(\boxed{x=0;\ 3}\)

4. \(\boxed{x=\pm\sqrt3;\ \pm\sqrt5}\)