Назови мне свойства паралеллограмма,трапеции, квадрата, прямоугольника и ромба

Краткий ответ

Главное — запомнить не пять независимых списков, а «семейство» четырёхугольников:

• параллелограмм — базовая фигура;
• прямоугольник, ромб и квадрат — его частные случаи, поэтому у них есть все свойства параллелограмма плюс свои;
• трапеция — отдельная фигура.

1. Параллелограмм

У параллелограмма \(ABCD\): \(AB\parallel CD\), \(BC\parallel AD\).

Свойства:

1. Противоположные стороны равны: \[ AB=CD,\qquad BC=AD. \]
2. Противоположные углы равны: \[ \angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D. \]
3. Соседние углы в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
5. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

2. Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Он наследует все свойства параллелограмма, а дополнительно:

1. Все углы равны \(90^\circ\).
2. Диагонали равны: \[ AC=BD. \]
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3. Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Он также наследует свойства параллелограмма, а дополнительно:

1. Все стороны равны: \[ AB=BC=CD=AD. \]
2. Диагонали взаимно перпендикулярны: \[ AC\perp BD. \]
3. Диагонали делят углы ромба пополам.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Важно: у ромба диагонали не обязаны быть равными. Они равны только у квадрата.

4. Квадрат

Квадрат — это одновременно прямоугольник и ромб.

Поэтому у него есть все их свойства:

1. Все стороны равны.
2. Все углы прямые.
3. Диагонали равны.
4. Диагонали взаимно перпендикулярны.
5. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
6. Диагонали делят углы квадрата пополам, то есть образуют с его сторонами углы \(45^\circ\).

5. Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие обычно не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями, две другие — боковыми сторонами.

Пусть \(AD\parallel BC\), тогда \(AD\) и \(BC\) — основания.

Свойства:

1. Углы, прилежащие к каждой боковой стороне, в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ. \]
2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \[ MN\parallel AD,\qquad MN=\frac{AD+BC}{2}. \]

Равнобедренная трапеция

Если боковые стороны равны, то:

• углы при каждом основании равны;
• диагонали равны.

Прямоугольная трапеция

Если одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, то у неё есть два прямых угла.

У произвольной трапеции диагонали не обязаны быть равными, а боковые стороны — тоже.

Как это понять, а не зубрить

• Все свойства параллелограмма происходят из параллельности сторон: при параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны, а односторонние дают в сумме \(180^\circ\).
• Прямоугольник добавляет прямые углы, и из этого появляется равенство диагоналей.
• Ромб добавляет равные стороны, и из этого появляется перпендикулярность диагоналей.
• Квадрат объединяет оба набора свойств.
• Трапеция — отдельный случай: у неё параллельна только одна пара сторон, поэтому свойства другие.

Проверка

• Квадрат действительно является и прямоугольником, и ромбом, поэтому его диагонали одновременно равны и перпендикулярны.
• Если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник.
• Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то это ромб.
• В равнобедренной трапеции диагонали равны, а в произвольной — нет.