Номер 1193

Кратко — ответы:

1. \(2\cos^2x-\sin x+1=0\)
   \[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

2. \(3\cos^2x-\sin x-1=0\)
   \[ x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z. \]

3. \(4\sin^2x-\cos x-1=0\)
   \[ x=\pm\arccos\frac34+2\pi n,\qquad x=\pi+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z. \]

4. \(2\sin^2x+3\cos x=0\)
   \[ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \]

Как решать такие уравнения

Главный приём: оставить только одну тригонометрическую функцию. Для этого используем основное тождество \[ \sin^2x+\cos^2x=1. \]

Если в уравнении есть \(\cos^2x\) и \(\sin x\), заменяем \[ \cos^2x=1-\sin^2x. \] Если есть \(\sin^2x\) и \(\cos x\), заменяем \[ \sin^2x=1-\cos^2x. \]

После замены получается квадратное уравнение относительно \(\sin x\) или \(\cos x\). Его корни обязаны лежать в промежутке \([-1;1]\), потому что синус и косинус не могут быть больше \(1\) или меньше \(-1\).

1) \(2\cos^2x-\sin x+1=0\)

\[ 2(1-\sin^2x)-\sin x+1=0 \] \[ 2\sin^2x+\sin x-3=0 \] \[ (2\sin x+3)(\sin x-1)=0 \]

Значит: \[ \sin x=-\frac32 \quad \text{— невозможно,} \] \[ \sin x=1. \]

Отсюда: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.} \]

2) \(3\cos^2x-\sin x-1=0\)

\[ 3(1-\sin^2x)-\sin x-1=0 \] \[ 3\sin^2x+\sin x-2=0 \] \[ (3\sin x-2)(\sin x+1)=0 \]

Получаем: \[ \sin x=\frac23 \quad\text{или}\quad \sin x=-1. \]

Поэтому: \[ \boxed{x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;} \] \[ \boxed{x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.} \]

3) \(4\sin^2x-\cos x-1=0\)

\[ 4(1-\cos^2x)-\cos x-1=0 \] \[ 4\cos^2x+\cos x-3=0 \] \[ (4\cos x-3)(\cos x+1)=0 \]

Значит: \[ \cos x=\frac34 \quad\text{или}\quad \cos x=-1. \]

Отсюда: \[ \boxed{x=\pm\arccos\frac34+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;} \] \[ \boxed{x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.} \]

4) \(2\sin^2x+3\cos x=0\)

\[ 2(1-\cos^2x)+3\cos x=0 \] \[ 2\cos^2x-3\cos x-2=0 \] \[ (2\cos x+1)(\cos x-2)=0 \]

Второй корень невозможен: \[ \cos x=2 \quad \text{— нет решений.} \]

Остаётся: \[ \cos x=-\frac12. \]

Отсюда: \[ \boxed{x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.} \]

Проверка: все найденные значения синуса и косинуса лежат в \([-1;1]\), а отброшенные корни \(\sin x=-\frac32\), \(\cos x=2\) и т. п. невозможны.