Реши

Ответ: \(\Delta_3=256\).

На фото определитель

\[ \Delta_3= \begin{vmatrix} 1&5&1\\ 2&-6&7\\ 5&-7&-1 \end{vmatrix}. \]

Его удобно разложить по обведённому третьему столбцу. Общий принцип: элемент \(a_{ij}\) умножаем на минор \(M_{ij}\) — определитель, оставшийся после вычёркивания \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца, — и на знак \((-1)^{i+j}\). Для третьего столбца знаки: \(+,-\), \(+\).

\[ \Delta_3= 1\cdot \begin{vmatrix} 2&-6\\ 5&-7 \end{vmatrix} -7\cdot \begin{vmatrix} 1&5\\ 5&-7 \end{vmatrix} +(-1)\cdot \begin{vmatrix} 1&5\\ 2&-6 \end{vmatrix}. \]

Считаем миноры:

\[ \begin{vmatrix} 2&-6\\ 5&-7 \end{vmatrix} =2\cdot(-7)-(-6)\cdot5=-14+30=16, \]

\[ \begin{vmatrix} 1&5\\ 5&-7 \end{vmatrix} =1\cdot(-7)-5\cdot5=-7-25=-32, \]

\[ \begin{vmatrix} 1&5\\ 2&-6 \end{vmatrix} =1\cdot(-6)-5\cdot2=-6-10=-16. \]

Подставляем:

\[ \Delta_3=1\cdot16-7\cdot(-32)+(-1)\cdot(-16) =16+224+16=256. \]

Проверка по правилу Саррюса тоже даёт \(256\). Частая ошибка здесь — потерять минус перед вторым слагаемым: он появляется из-за позиции элемента \(7\) во второй строке.

Если это \(\Delta_3\) из решения системы по Крамеру, то это только числитель для \(z\): чтобы найти саму переменную, нужен главный определитель \(\Delta\), тогда \(z=\Delta_3/\Delta\).