Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Коротко: $(M\cup K)\cap(N\cup K)=(M\cap N)\cup K$, а $M\cap N={2;5;10}$. Значит, ответ должен содержать $2;5;10$ и все элементы $K$ — но само множество $K$ в условии не видно, поэтому выбрать вариант точно пока нельзя.

Как решать

1. Раскрой скобки по распределительному закону: $$(M\cup K)\cap(N\cup K)=(M\cap N)\cup(K\cap K)=(M\cap N)\cup K$$
2. Общие элементы $M$ и $N$: $$M\cap N={2;\ 5;\ 10}$$
3. Итог: $(M\cup K)\cap(N\cup K)={2;5;10}\cup K$.

Проверка правдоподобности вариантов

• $1$ есть только в $M$, $6$ — только в $N$, $11$ — только в $M$, $12$ — только в $N$: такие элементы могут попасть в ответ только если они есть в $K$.
• Во всех четырёх вариантах видны $7$ и $8$ (они есть только в $M$) — похоже, $K$ как раз содержит $7$ и $8$. Тогда ответ ${2;5;7;8;10}$ — это варианты 1 и 4, они в видимой части совпадают.

Чего не хватает: в «Дано» указаны только $M$ и $N$ — строку с $K$ обрезало сверху, а варианты ответов обрезаны справа. Пришли значение $K$ или скриншот с началом задачи и полными вариантами — я назову точный номер.

Вывод по маршруту: это новое самостоятельное задание (другое упражнение, хотя тема та же — операции над множествами), поэтому разбираю его отдельно.

Ответ: третий вариант сверху — где закрашена область пересечения $A$ и $B$ без той её части, которая лежит внутри $C$.

Почему

1. $A\setminus C$ — всё, что входит в $A$, но не входит в $C$ (кольцо $A$ с «вырезанным» куском $C$).
2. $B\setminus C$ — аналогично для $B$.
3. Пересечение — то, что одновременно лежит в $A$, в $B$ и вне $C$: $$(A\setminus C)\cap(B\setminus C)=(A\cap B)\setminus C$$

Область $A\cap B$ (линза-«чечевица» между кругами $A$ и $B$) состоит из двух частей: верхней, попавшей внутрь $C$, и остальной. Нам нужна вторая.

Сверка вариантов

Проверка точкой: возьми точку в нижней части линзы, вне круга $C$. Она в $A$ и в $B$, но не в $C$ — значит, обязана быть закрашенной. Это выполняется только в третьем варианте; точка же внутри $C$ (верхушка линзы) в ответ не входит.

Если под третьим вариантом есть ещё один (он обрезан) — убедись, что там закрашена не вся линза, а именно линза без куска $C$.

Вывод по маршруту: это новое упражнение, но в рамках той же учебной темы — операции над множествами. Решается теми же шагами, поэтому разбираю его отдельно.

Важно: в условии обрезана строка с множеством $C$ — видно только «$C = \ldots$». Без него нельзя дать окончательный ответ, но часть вариантов проверяется уже по $A$ и $B$.

Дано: $$A=[1;6],\qquad B=[-1;3]$$ Тогда: $$A\setminus B=(3;6]$$

Что можно проверить без $C$:

• Второй сверху вариант $(A\setminus B)\cap C=[3;5]$ невозможен: $3\notin A\setminus B$, значит тройка не может попасть в пересечение.
• Пятый вариант $(A\setminus B)\cap C=[1;2)\cup(3;6]$ невозможен: $(A\setminus B)\cap C\subseteq(3;6]$, а промежутка $[1;2)$ там быть не может.
• Первый и четвёртый варианты различаются только концом 5: $(3;5]$ или $(3;5)$. Это зависит от того, входит ли 5 в $C$.
• Для выражения $A\setminus(B\cap C)$: число $6$ обязано входить в ответ при любом $C$, потому что $6\in A$, но $6\notin B$. Значит, вариант с «$)$» после 6 неверен.
• Чтобы получилось $[1;2)\cup(3;6]$, нужно $B\cap C=[2;3]$.

Если $C=[2;5]$ (судя по вариантам, скорее всего так), то: $$(A\setminus B)\cap C=(3;6]\cap[2;5]=(3;5]$$ — верен первый вариант; $$B\cap C=[2;3],\qquad A\setminus(B\cap C)=[1;2)\cup(3;6]$$ — верен третий вариант.

Ответ: первый и третий сверху; шестой — только если он полностью совпадает с третьим.

Пришли $C$ (или скриншот, где оно видно), и я подтвержу выбор точно.

По маршруту: это самостоятельное новое задание (другое упражнение), но тема та же — множества и формула включений-исключений. Разбираю отдельно.

Краткий ответ: верны третье и четвёртое утверждения; первое и второе — ложны. Пятое утверждение обрезано, его не видно.

Решение

Пусть $X$ — химия, $Y$ — математика. Каждый посещает хотя бы один кружок, значит $$|X\cup Y|=24,\qquad |X|=14,\qquad |Y|=16.$$

По формуле включений-исключений: $$|X\cap Y|=|X|+|Y|-|X\cup Y|=14+16-24=6.$$

То есть ровно 6 человек ходят на оба кружка.

Отсюда по кругам Эйлера:

• только химия: $14-6=8$ человек;
• только математика: $16-6=10$ человек;
• оба: $6$ человек.

Проверка: $8+10+6=24$ ✓

Сверка утверждений

Чего не хватает: пятое утверждение обрезано снизу. Если там что-то вроде «на химию ходят больше, чем на математику» или «только на математику ходят 10 человек» — пришли его, проверю точно.

Ответ: 16 подмножеств. В поле нужно вписать 16.

Почему

В множестве $M={3;5;7;9}$ четыре различных элемента. При составлении подмножества каждый элемент независимо делает один выбор из двух:

• войти в подмножество;
• не войти в него.

Значит, всего вариантов: $$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4=16.$$

Общая формула: если в множестве $n$ элементов, то у него $2^n$ подмножеств.

Проверка перебором (по числу элементов в подмножестве):

Сумма: $1+4+6+4+1=16$ ✓

Обрати внимание: пустое множество и само $M$ тоже считаются подмножествами — именно поэтому не 15, а 16.

Ответ: 9 человек. В поле нужно ввести 9.

Это новое самостоятельное задание, но тема та же — множества и формула включений-исключений.

Решение

1. Ни один кружок не посещают 6 человек, значит посещают хотя бы один: $$27-6=21.$$

2. Пусть $S$ — спортивные секции, $M$ — математический кружок. Тогда: $$|S\cup M|=21,\qquad |S|=18,\qquad |M|=12.$$

3. Сколько человек ходят и туда, и туда: $$|S\cap M|=|S|+|M|-|S\cup M|=18+12-21=9.$$

4. Нас спрашивают про тех, кто в секциях, но не в математическом кружке: $$|S|-|S\cap M|=18-9=9.$$

Проверка по группам

Важно: не вычитай 12 из 18 напрямую — так не учитываются те, кто ходит в оба кружка. Сначала находим пересечение, потом убираем его из числа спортсменов.