Реши задание на изображении

Кратко:

• №2 — сторона равна 30
• №3 — высота равна 9
• №4 — высота равна 24

Почему так

В равностороннем треугольнике со стороной \(a\) биссектриса, медиана и высота совпадают. Если высота равна \(h\), то:

\[ h=\frac{a\sqrt3}{2} \]

Это получается из прямоугольного треугольника с гипотенузой \(a\), катетами \(h\) и \(\frac a2\):

\[ a^2=h^2+\left(\frac a2\right)^2 \]

Также центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой пересечения медиан. Она делит высоту в отношении \(2:1\), поэтому:

\[ R=\frac{2h}{3},\qquad r=\frac{h}{3} \]

То есть

\[ h=\frac{3R}{2},\qquad h=3r \]

Теперь по задачам.

№2.
Дано:

\[ h=15\sqrt3 \]

\[ 15\sqrt3=\frac{a\sqrt3}{2} \]

Умножим на \(2\):

\[ 30\sqrt3=a\sqrt3 \]

\[ a=30 \]

Ответ: 30.

№3.
Дано:

\[ R=6 \]

\[ h=\frac{3R}{2}=\frac{3\cdot6}{2}=9 \]

Ответ: 9.

Проверка: сторона \(a=R\sqrt3=6\sqrt3\), тогда
\(h=\frac{6\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=9\).

№4.
Дано:

\[ r=8 \]

\[ h=3r=3\cdot8=24 \]

Ответ: 24.

Проверка: \(a=2r\sqrt3=16\sqrt3\), тогда
\(h=\frac{16\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=24\).