Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(x=2\)
2. \(x=-5;\ -7\)
3. \(x=0;\ \frac15\)
4. \(x=2\)
5. \(x=1\)
6. \(x=\pm3\)

Решение и принцип

1. \(x^2-4x+4=0\)

Это полный квадрат: \[ (x-2)^2=0. \] Квадрат равен нулю только тогда, когда равно нулю его основание: \[ x-2=0 \Rightarrow x=2. \]

2. \(x^2+12x=-35\)

Переносим \(-35\) влево: \[ x^2+12x+35=0. \] Раскладываем на множители по теореме Виета: \[ (x+5)(x+7)=0. \] Значит, \[ x=-5 \quad \text{или} \quad x=-7. \]

3. \(-5x^2+x=0\)

Не делим на \(x\), иначе потеряем корень \(x=0\). Вынесем \(x\): \[ x(1-5x)=0. \] Отсюда: \[ x=0 \quad \text{или} \quad 1-5x=0 \Rightarrow x=\frac15. \]

4. \(-2x^2+5x+1=-x^2+4x+(3-x^2)\)

Сначала упростим правую часть: \[ -x^2+4x+3-x^2=-2x^2+4x+3. \] Уравнение принимает вид: \[ -2x^2+5x+1=-2x^2+4x+3. \] Слагаемые \(-2x^2\) взаимно уничтожаются: \[ 5x+1=4x+3. \] Отсюда: \[ x=2. \]

5. \(-\frac{2}{x-2}=2x\)

Сначала ОДЗ: на ноль делить нельзя, поэтому \[ x-2\neq0 \Rightarrow x\neq2. \] Умножаем обе части на \(x-2\): \[ -2=2x(x-2). \] Делим на \(2\): \[ -1=x(x-2), \] \[ x^2-2x+1=0, \] \[ (x-1)^2=0. \] Получаем: \[ x=1. \] Это число не равно \(2\), значит, корень допустим. Проверка: \(-\frac{2}{1-2}=2\), и \(2x=2\).

6. \(x^4-5x^2-36=0\)

Это биквадратное уравнение. Введём замену: \[ t=x^2,\quad t\geq0. \] Тогда: \[ t^2-5t-36=0. \] Раскладываем: \[ (t-9)(t+4)=0. \] Значит: \[ t=9 \quad \text{или} \quad t=-4. \] Но \(t=x^2\geq0\), поэтому \(t=-4\) не подходит. Остаётся: \[ x^2=9, \] \[ x=\pm3. \]

Что важно запомнить

• Квадратное уравнение можно решать через дискриминант, Виета или выделение полного квадрата.
• Если есть общий множитель \(x\), выносим его, но не сокращаем на \(x\).
• В дробных уравнениях обязательно учитываем ОДЗ.
• В биквадратном уравнении замена \(t=x^2\) требует условия \(t\geq0\).