Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$x^2 - 5x + 6 = 0 ;\Rightarrow; x_1 = 2,; x_2 = 3$ (оба корня — действительные, различных два).
Как это получается
Способ 1. Разложение на множители (быстро, «на глаз»)
Ищем два числа, которые в сумме дают $5$ (коэффициент при $x$ с обратным знаком), а в произведении — $6$ (свободный член). Это $2$ и $3$:
$$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3).$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
$$x - 2 = 0 ;\text{или}; x - 3 = 0 ;\Rightarrow; x = 2 ;\text{или}; x = 3.$$
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда, даже если корни «некрасивые»)
Для $ax^2+bx+c=0$: $a=1,; b=-5,; c=6$.
$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0 ;\Rightarrow; \text{два корня.}$$
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} ;\Rightarrow; x_1 = \frac{6}{2} = 3,\quad x_2 = \frac{4}{2} = 2.$$
Связь двух способов: теорема Виета — это и есть «угадывание» множителей, только записанное формулами: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5$, $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 6$. Проверка: $2+3=5$ ✓, $2\cdot 3 = 6$ ✓.
Проверка подстановкой
- $x = 2$: $4 - 10 + 6 = 0$ ✓
- $x = 3$: $9 - 15 + 6 = 0$ ✓
Как действовать в похожем задании
- Посмотри на коэффициент $a$: если $a=1$ (приведённое уравнение), сначала попробуй подобрать два числа по Виете — это самый быстрый путь.
- Если числа не подбираются (или $a \ne 1$), считай дискриминант: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет.
- Всегда подставляй найденные корни в исходное уравнение — так ловится ошибка в знаке.
