Реши задание на изображении

Краткий ответ

Выражение \(\sqrt{4+x}\) имеет смысл при

\[ 4+x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge -4 \]

то есть \(x \in [-4;\,+\infty)\).

Почему так

1. Что такое квадратный корень. Запись \(\sqrt{a}\) означает арифметический квадратный корень — число, которое в квадрате даёт \(a\). Для действительных чисел он существует только тогда, когда \(a \ge 0\). Из отрицательного числа корень извлечь нельзя (например, \(\sqrt{-1}\) не существует).

2. Главное условие. Значит, всё, что стоит под знаком корня, должно быть неотрицательным:

\[ 4+x \ge 0 \]

3. Решаем неравенство. Переносим \(4\) вправо с противоположным знаком:

\[ x \ge -4 \]

Проверка

• \(x = -4\): \(\sqrt{4+(-4)} = \sqrt{0} = 0\) — имеет смысл.
• \(x = -3\): \(\sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1\) — имеет смысл.
• \(x = -5\): \(\sqrt{4-5} = \sqrt{-1}\) — не имеет смысла.

Всё сходится: годится любое число от \(-4\) и больше.

Принцип для похожих заданий

Для выражения \(\sqrt{f(x)}\) всегда пиши одно условие: \(f(x) \ge 0\), затем решай это неравенство.

• \(\sqrt{5-x}\): \(5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5\);
• \(\sqrt{2x+6}\): \(2x+6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3\);
• \(\sqrt{x^2}\): \(x^2 \ge 0\) — верно при любом \(x\), то есть \(x \in \mathbb{R}\).

Если корень стоит в знаменателе, например \(\dfrac{1}{\sqrt{4+x}}\), условие строгое: \(4+x > 0\), потому что на ноль делить нельзя.