Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(x_1=-1,\; x_2=1\).
Решение по шагам
Уравнение (№10, п. 1):
\[ 4x^2-5x^2+1=0 \]
Шаг 1. Приводим подобные слагаемые. \[ 4x^2-5x^2=-x^2 \quad\Rightarrow\quad -x^2+1=0 \] То есть уравнение свелось к неполному квадратному.
Шаг 2. Переносим число вправо и меняем знак: \[ -x^2=-1 \quad\Rightarrow\quad x^2=1 \]
Шаг 3. Извлекаем корень, помня про оба знака: \[ x=\pm\sqrt{1}=\pm 1 \]
Ответ: \(x_1=-1,\; x_2=1\).
Проверка
Оба корня дают \(x^2=1\), поэтому:
- \(x=1:\; 4-5+1=0\) ✔
- \(x=-1:\; 4\cdot 1-5\cdot 1+1=0\) ✔
Принцип, который стоит запомнить
- Сначала упрощаем: приводим подобные, раскрываем скобки, избавляемся от знаменателей — приводим к виду \(ax^2+bx+c=0\).
- Потом смотрим, полное ли уравнение:
- если \(b=0\), то есть \(x^2=m\): при \(m>0\) корни \(x=\pm\sqrt{m}\), при \(m=0\) корень \(x=0\), при \(m<0\) корней нет;
- если \(c=0\): выносим \(x\) за скобку, \(x(ax+b)=0\);
- если все три коэффициента есть — дискриминант \(D=b^2-4ac\).
- Всегда проверяем подстановкой: подходят оба корня или один из них посторонний.
Здесь приём простой: «спрятался» неполный квадрат, и после приведения подобных остаётся \(x^2=1\) — два корня, а не один.
Обсуждение
2 сообщенияНогундай кылып чыгар
Кыска жооп: \(x_1=-4,\; x_2=-3,\; x_3=3,\; x_4=4\) — төрт тамыр.
Доскадагы теңдеме (№10, а):
\[ x^4-25x^2+144=0 \]
Бул биквадрат теңдеме. Аны квадрат теңдемеге айландырып чыгарабыз.
Кадамдар
1. Жаңы өзгөрмө киргизебиз. Доскада жазылгандай: \[ x^2=a,\quad a\ge 0 \] (анткени \(x^2\) эч качан терс болбойт). Ошондо \(x^4=(x^2)^2=a^2\), жана теңдеме мындай болот: \[ a^2-25a+144=0 \]
2. Дискриминантты табабыз: \[ D=(-25)^2-4\cdot 1\cdot 144=625-576=49,\qquad \sqrt{D}=7 \]
3. Тамырларды табабыз: \[ a_{1,2}=\frac{25\pm 7}{2} \] \[ a_1=\frac{25+7}{2}=\frac{32}{2}=16,\qquad a_2=\frac{25-7}{2}=\frac{18}{2}=9 \]
Экөө тең оң, демек \(a\ge 0\) шарты аткарылат — жарактуу.
4. Кайра \(x^2\) ке кайтабыз:
\[ x^2=16 \;\Rightarrow\; x=\pm 4 \] \[ x^2=9 \;\Rightarrow\; x=\pm 3 \]
Жооп: \(x=-4,\; -3,\; 3,\; 4\).
Текшерүү
\(x=4\): \(256-25\cdot16+144=256-400+144=0\) ✔ \(x=3\): \(81-225+144=0\) ✔ Терс тамырлар да квадратка көтөрүлгөндүктөн ушундай эле натыйжа берет.
Эстеп калчу принцип
- \(x^4\) жана \(x^2\) гана бар болсо — алмаштыруу колдон: \(x^2=a\).
- Пайда болгон квадрат теңдемени дискриминант менен чыгар.
- Ар дайым артка кайт: \(a\)-нын ордуна \(x^2\)-ни кой.
- Терс тамырларды ыргытпа: \(x^2=a\) болсо, \(x=\pm\sqrt{a}\) — эки тамыр.
- Эгер \(a<0\) чыкса, ал учурда \(x^2=a\)-нын чыныгы чечими жок.
Көп кетирилүүчү ката: \(x=4\) деп токтоп калуу (\(\pm\) унутуу) же \(a_1, a_2\)-ден кийин кайра \(x\)-ке кайтпай коюу.
