Номер 74
Кратко:
а) график \(y=\cos x\) отражён от оси \(Ox\), сжат по горизонтали и поднят на \(1\);
б) синусоида сжата в \(2\) раза и сдвинута вправо на \(\pi/6\);
в) синусоида растянута в \(2\) раза и поднята на \(2\);
г) тангенсоида сжата в \(2\) раза и сдвинута вправо на \(\pi/12\).
Общий принцип. Сначала строим базовый график \(\sin x\), \(\cos x\) или \(\operatorname{tg}x\), затем учитываем коэффициенты: они меняют период, растягивают/сжимают график и сдвигают его.
а) \(y=1-\cos 1{,}5x\)
\[ y=1-\cos\frac{3x}{2}. \]
- Период:
\[ T=\frac{2\pi}{1{,}5}=\frac{4\pi}{3}. \] - Область значений: \([0;\,2]\), средняя линия \(y=1\).
- Это «перевёрнутая» косинусоида, поднятая на \(1\).
Опорные точки одного периода:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\frac{\pi}{3}&\frac{2\pi}{3}&\pi&\frac{4\pi}{3}\\ \hline y&0&1&2&1&0 \end{array} \]
Максимумы: \(y=2\) при \(x=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi k}{3}\).
Минимумы: \(y=0\) при \(x=\frac{4\pi k}{3}\).
б) \(y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\)
Перепишем:
\[ y=\sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right). \]
- Период:
\[ T=\frac{2\pi}{2}=\pi. \] - Область значений: \([-1;\,1]\).
- Сдвиг вправо на \(\pi/6\), сжатие по горизонтали в \(2\) раза.
Опорные точки одного периода:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&\frac{\pi}{6}&\frac{5\pi}{12}&\frac{2\pi}{3}&\frac{11\pi}{12}&\frac{7\pi}{6}\\ \hline y&0&1&0&-1&0 \end{array} \]
Нули: \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}\).
в) \(y=2+\sin\frac{x}{2}\)
- Период:
\[ T=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi. \] - Область значений: \([1;\,3]\), средняя линия \(y=2\).
- Синусоида растянута по горизонтали в \(2\) раза и поднята на \(2\).
Опорные точки одного периода:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\pi&2\pi&3\pi&4\pi\\ \hline y&2&3&2&1&2 \end{array} \]
Максимумы: \(y=3\) при \(x=\pi+4\pi k\).
Минимумы: \(y=1\) при \(x=3\pi+4\pi k\).
г) \(y=\operatorname{tg}\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\)
Перепишем:
\[ y=\operatorname{tg}2\left(x-\frac{\pi}{12}\right). \]
- Период:
\[ T=\frac{\pi}{2}. \] - Область значений: все действительные числа.
- Сдвиг вправо на \(\pi/12\), сжатие по горизонтали в \(2\) раза.
Нули:
\[ 2x-\frac{\pi}{6}=\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}. \]
Вертикальные асимптоты:
\[ 2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi k}{2}. \]
На одной ветви, например при
\[
-\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{3},
\]
график возрастает от \(-\infty\) до \(+\infty\), проходит через точки
\[ \left(0;-\frac1{\sqrt3}\right),\quad \left(\frac{\pi}{12};0\right),\quad \left(\frac{\pi}{6};\frac1{\sqrt3}\right). \]
Проверка: все опорные точки удовлетворяют формулам функций, а периоды найдены по коэффициенту перед \(x\). Дальше рисунок одного периода просто повторяется.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понятно,начерти функции
Ниже — схематичные чертежи по одному периоду. Точки можно перенести в тетрадь и соединить плавной линией; дальше график повторяется.
а) \(y=1-\cos 1{,}5x\)
\[ T=\frac{4\pi}{3} \]
y
2 | ●
| / \
1 | ● ●
| / \
0 ●───/───────────────●── x
0 π/3 2π/3 π 4π/3
Ключевые точки:
\[ (0;0),\quad \left(\frac{\pi}{3};1\right),\quad \left(\frac{2\pi}{3};2\right),\quad (\pi;1),\quad \left(\frac{4\pi}{3};0\right). \]
б) \(y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\[ T=\pi \]
y
1 | ●
| / \
0 ●─────●────/───────\─────●── x
π/6 5π/12 2π/3 11π/12 7π/6
-1 | ●
Ключевые точки:
\[ \left(\frac{\pi}{6};0\right),\quad \left(\frac{5\pi}{12};1\right),\quad \left(\frac{2\pi}{3};0\right), \] \[ \left(\frac{11\pi}{12};-1\right),\quad \left(\frac{7\pi}{6};0\right). \]
в) \(y=2+\sin\frac{x}{2}\)
\[ T=4\pi \]
y
3 | ●
| / \
2 ●──────●────/─────\──────────●── x
0 π 2π \ 3π 4π
1 | ●
Ключевые точки:
\[ (0;2),\quad (\pi;3),\quad (2\pi;2), \] \[ (3\pi;1),\quad (4\pi;2). \]
г) \(y=\operatorname{tg}\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\[ T=\frac{\pi}{2} \]
Одна ветвь — между вертикальными асимптотами
\[
x=-\frac{\pi}{6}\quad\text{и}\quad x=\frac{\pi}{3}.
\]
y
│ ┊
│ /
│ /
│ /
0 ┼──/──────────── x
│ /
│
┊
-π/6 0 π/12 π/6 π/3
Точки для построения:
\[ \left(0;-\frac1{\sqrt3}\right),\quad \left(\frac{\pi}{12};0\right),\quad \left(\frac{\pi}{6};\frac1{\sqrt3}\right). \]
График возрастает от \(-\infty\) до \(+\infty\), а такие ветви повторяются через \(\frac{\pi}{2}\).
