Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1 = 2,\quad x_2 = 3\).

Как решать такое уравнение

Это полное квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).

Способ 1. Через дискриминант (универсальный)

1. Находим дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
2. Так как \(D>0\), корней два: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
3. Считаем: \[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. По теореме Виета (быстрее, если \(a=1\))

Сумма корней равна \(-b=5\), произведение равно \(c=6\). Подбираем два числа: \(2\) и \(3\), ведь \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\).

Способ 3. Разложение на множители

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔ Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔

Принцип, который стоит запомнить: для приведённого уравнения (\(a=1\)) корни удобно искать по Виета — сумма равна \(-b\), произведение равно \(c\). Дискриминант выручает, когда числа не подбираются (и показывает, есть ли корни: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет).