Реши задание на изображении

Номер 1, все пункты (а–г)

При допустимых значениях переменных (все знаменатели не равны нулю):

1. а) \(\displaystyle \frac{5}{6c}\)
2. б) \(\displaystyle \frac{2x-y}{y}\)
3. в) \(\displaystyle \frac{d^3(d+1)}{6}\)
4. г) \(\displaystyle \frac{a-b}{b}\)

Как получили

а)
\[ \left(\frac c2+\frac c3\right)\cdot\frac1{c^2} =\frac{3c+2c}{6}\cdot\frac1{c^2} =\frac{5c}{6}\cdot\frac1{c^2} =\frac{5}{6c}. \]

б)
Сначала приводим каждую скобку к общему знаменателю: \[ \frac{2x}{y^2}-\frac1{2x}=\frac{4x^2-y^2}{2xy^2}, \qquad \frac1y+\frac1{2x}=\frac{2x+y}{2xy}. \] Заменяем деление умножением на обратную дробь: \[ \frac{4x^2-y^2}{2xy^2}\cdot\frac{2xy}{2x+y} = \frac{(2x-y)(2x+y)}{2xy^2}\cdot\frac{2xy}{2x+y} = \frac{2x-y}{y}. \]

в)
\[ \frac{d^2}{3}\left(\frac d2+\frac{d^2}{2}\right) = \frac{d^2}{3}\cdot\frac{d+d^2}{2} = \frac{d^2\cdot d(1+d)}{6} = \frac{d^3(d+1)}{6}. \]

г)
\[ \frac a{b^2}-\frac1a=\frac{a^2-b^2}{ab^2}, \qquad \frac1b+\frac1a=\frac{a+b}{ab}. \] \[ \frac{a^2-b^2}{ab^2}:\frac{a+b}{ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab^2}\cdot\frac{ab}{a+b} = \frac{a-b}{b}. \]

Общий принцип

1. В скобках приводим дроби к общему знаменателю.
2. Деление заменяем умножением на обратную дробь.
3. Используем формулу разности квадратов: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
4. Сокращаем одинаковые множители.
5. Не забываем про ОДЗ: знаменатели не должны быть нулями. Например, в пункте б дополнительно \(2x+y\ne0\), иначе исходное выражение не определено.

Проверка:
Для а) при \(c=1\): слева \(\left(\frac12+\frac13\right)\cdot1=\frac56\), справа \(\frac{5}{6\cdot1}=\frac56\).
Для б) при \(x=2,\ y=1\): слева \(\left(4-\frac14\right):\left(1+\frac12\right)=\frac{15}{4}:\frac32= \frac{15}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{2}\), справа \(\frac{2\cdot2-1}{1}=3\). Ой, проверка выявила несовпадение — значит, я ошибся в вычислении? Давайте пересчитаем: \(\frac{15}{4} : \frac{3}{2} = \frac{15}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}=2{,}5\). Правая часть \(\frac{2x-y}{y}=\frac{4-1}{1}=3\). Не совпало! Где ошибка? Проверим исходное б): \(\frac{2x}{y^2}-\frac{1}{2x}\) при \(x=2,y=1\): \(\frac{4}{1}-\frac{1}{4}=4-0{,}25=3{,}75=\frac{15}{4}\). Вторая скобка \(\frac{1}{1}+\frac{1}{4}=1{,}25=\frac54\). Деление: \(\frac{15}{4}:\frac54=\frac{15}{4}\cdot\frac{4}{5}=3\). А я во второй скобке написал \(\frac32\) вместо \(\frac54\). Верно: \(1+\frac12=\frac32\) — это если \(x=1\), а у нас \(x=2\), поэтому \(\frac1{2x}=\frac14\), вторая скобка \(\frac54\). Тогда всё сходится: \(3=3\). Извините за путаницу в проверке. Исправленная проверка: при \(x=2,\ y=1\): \(\frac{15}{4}:\frac54=3\), справа \(\frac{4-1}{1}=3\). Всё верно.

Значит, ответы корректны. В окончательном тексте проверку можно оставить с правильными числами. Я включу проверку для а) и б) аккуратно.

Теперь финальный ответ.