Реги только 1 номер

Решаю только №1 — все пункты а–г.

Краткий ответ:

1. а) \(\dfrac{5}{6c}\)
2. б) \(\dfrac{2x-y}{y}\)
3. в) \(\dfrac{d^3+4}{6}=\dfrac{d^3}{6}+\dfrac23\)
4. г) \(\dfrac{a-b}{b}\)

Ограничения берём из исходных выражений:
а) \(c\ne0\);
б) \(x\ne0,\ y\ne0,\ 2x+y\ne0\);
в) \(d\ne0\);
г) \(a\ne0,\ b\ne0,\ a+b\ne0\).

Как это получается

Главные приёмы:

• в скобках привести дроби к общему знаменателю;
• деление заменить умножением на обратную дробь;
• разложить числитель на множители и сократить.

а) \[ \left(\frac c2+\frac c3\right)\cdot \frac1{c^2} =\frac{3c+2c}{6}\cdot\frac1{c^2} =\frac{5c}{6c^2} =\frac{5}{6c}. \]

б) \[ \frac{2x}{y^2}-\frac1{2x} =\frac{4x^2-y^2}{2xy^2} =\frac{(2x-y)(2x+y)}{2xy^2}. \]

\[ \frac1y+\frac1{2x} =\frac{2x+y}{2xy}. \]

Теперь деление заменяем умножением: \[ \frac{(2x-y)(2x+y)}{2xy^2}\cdot\frac{2xy}{2x+y} =\frac{2x-y}{y}. \]

в) \[ \frac{d^2}{3}\left(\frac d2+\frac2{d^2}\right) =\frac{d^2}{3}\cdot\frac d2+\frac{d^2}{3}\cdot\frac2{d^2} =\frac{d^3}{6}+\frac23 =\frac{d^3+4}{6}. \]

г) \[ \frac a{b^2}-\frac1a =\frac{a^2-b^2}{ab^2} =\frac{(a-b)(a+b)}{ab^2}. \]

\[ \frac1b+\frac1a=\frac{a+b}{ab}. \]

\[ \frac{(a-b)(a+b)}{ab^2}\cdot\frac{ab}{a+b} =\frac{a-b}{b}. \]

Проверка примера б: при \(x=1,\ y=2\) исходное выражение равно \(0:1=0\), и ответ \(\frac{2-2}{2}=0\). Всё сходится.