Реши 3 задание
Краткий ответ
График функции
\[
y=-8x^2-2x+1
\]
— парабола, ветви которой направлены вниз.
Вершина:
\[
\left(-\frac18;\frac98\right)
\]
Точки пересечения с осями координат:
- с осью \(Oy\): \((0;1)\);
- с осью \(Ox\): \(\left(-\frac12;0\right)\) и \(\left(\frac14;0\right)\).
Как это получить
1. Пересечение с осью \(Oy\)
На оси \(Oy\) координата \(x=0\): \[ y=-8\cdot0^2-2\cdot0+1=1. \] Значит, точка пересечения — \((0;1)\).
2. Пересечение с осью \(Ox\)
На оси \(Ox\) координата \(y=0\), поэтому решаем уравнение: \[ -8x^2-2x+1=0. \] Умножим на \(-1\): \[ 8x^2+2x-1=0. \]
Дискриминант: \[ D=2^2-4\cdot8\cdot(-1)=4+32=36. \]
Корни: \[ x=\frac{-2\pm6}{16}. \] То есть \[ x_1=\frac{-2+6}{16}=\frac14, \qquad x_2=\frac{-2-6}{16}=-\frac12. \]
Значит, точки пересечения с осью \(Ox\): \[ \left(\frac14;0\right),\qquad \left(-\frac12;0\right). \]
3. Вершина параболы
Для функции \(y=ax^2+bx+c\) вершина имеет абсциссу \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \] Здесь \(a=-8,\ b=-2\), поэтому \[ x_0=-\frac{-2}{2\cdot(-8)}=-\frac18. \]
Подставляем: \[ y_0=-8\left(-\frac18\right)^2-2\left(-\frac18\right)+1 =-\frac18+\frac14+1 =\frac98. \]
Вершина: \[ \left(-\frac18;\frac98\right). \]
Так как \(a=-8<0\), ветви параболы идут вниз, а вершина является самой верхней точкой.
4. Как построить график
Ось симметрии параболы: \[ x=-\frac18. \]
Можно отметить точки:
| \(x\) | \(-1\) | \(-\frac12\) | \(-\frac14\) | \(0\) | \(\frac14\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-5\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(-9\) |
Дополнительно отметь вершину: \[ \left(-\frac18;\frac98\right). \]
Соедини эти точки плавной кривой — получится парабола ветвями вниз.
Проверка
Подставим \(x=\frac14\): \[ -8\cdot\frac1{16}-2\cdot\frac14+1 =-\frac12-\frac12+1=0. \]
Подставим \(x=-\frac12\): \[ -8\cdot\frac14-2\left(-\frac12\right)+1 =-2+1+1=0. \]
Корни найдены верно.
Главный принцип: пересечение с \(Oy\) ищем при \(x=0\), пересечение с \(Ox\) — при \(y=0\); вершину параболы находим по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\).
Обсуждение
4 сообщенияНам учительница сказала чтобы найти Ох надо функцию прировнять нулю
Да, всё верно — учительница говорит то же самое. Только точнее: чтобы найти точки пересечения с осью \(Ox\), нужно приравнять значение функции к нулю, то есть решить уравнение
\[ f(x)=0. \]
У нас
\[ -8x^2-2x+1=0. \]
Дальше:
\[ 8x^2+2x-1=0, \]
\[ D=2^2-4\cdot 8\cdot(-1)=4+32=36, \]
\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{16}. \]
Получаем
\[ x_1=\frac14,\qquad x_2=-\frac12. \]
Значит, точки пересечения с осью \(Ox\):
\[ \left(\frac14;0\right)\quad\text{и}\quad\left(-\frac12;0\right). \]
То есть в решении выше шаг 2 — это именно то, что сказала учительница. А с осью \(Oy\) находят иначе: подставляют \(x=0\), тогда \(y=1\), поэтому точка \((0;1)\).
Как это примерно будет выглядеть на графике?
Примерно так — это узкая парабола ветвями вниз, вершина у неё чуть выше \(y=1\), почти над осью \(Oy\):
y
↑
│ ● вершина
│ (-1/8; 9/8)
│ ╱ ╲
(-1/4;1) ● ╱ ╲ ● (0;1)
╲ ╱ ╲ ╱
───────────────●──────────●──────→ x
(-1/2;0) (1/4;0)
╲ ╱
╲ ╱
╲ ╱
Точки, через которые проходит график:
\[ (-1/2;0),\quad (1/4;0),\quad (0;1),\quad (-1/4;1), \] и вершина \[ (-1/8;9/8). \]
Важно:
- ветви направлены вниз, потому что коэффициент при \(x^2\) равен \(-8<0\);
- вершина — самая высокая точка графика;
- ось симметрии — вертикальная прямая \[ x=-\frac18; \]
- график проходит через \((-1/2;0)\) и \((1/4;0)\) — это пересечения с осью \(Ox\);
- через \((0;1)\) — пересечение с осью \(Oy\);
- парабола довольно узкая: при \(x=0{,}5\) \[ y=-2, \] а при \(x=-1\) \[ y=-5. \]
То есть на бумаге: отмечаешь эти точки и проводишь через них плавную кривую «шапочкой» вниз — вершина сверху, концы ветвей уходят вниз.
