Реши 3 и 6 (123)
Кратко:
№ 3. Если идти по строкам листа сверху вниз, в квадратики нужно вписать:
\[ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 1 \]
Ответ неравенства:
\[ x\in\left(-\infty;-\frac72\right)\cup(-2;1) \]
№ 6.
- \(0\)
- \(2{,}5\), или \(\frac52\)
- \(9\)
- \(9\)
- \(-5\)
№ 3. Почему такой порядок
Правильная логика решения дробно-рационального неравенства:
- Перенести всё в левую часть.
- Привести к общему знаменателю.
- Упростить числитель.
- Отметить нули числителя и знаменателя.
- Определить знаки на промежутках и записать ответ.
То есть строки листа сверху вниз нумеруются так:
| Строка на листе | Номер шага |
|---|---|
| Привести к общему знаменателю | 2 |
| Упростить числитель | 3 |
| Отметить нули числителя и знаменателя | 4 |
| Определить знаки и записать ответ | 5 |
| Перенести все слагаемые в левую часть | 1 |
Само решение:
\[ \frac{3}{x-1}<\frac{1}{x+2} \]
\[ \frac{3}{x-1}-\frac{1}{x+2}<0 \]
\[ \frac{3(x+2)-(x-1)}{(x-1)(x+2)}<0 \]
\[ \frac{2x+7}{(x-1)(x+2)}<0 \]
Нуль числителя:
\[ 2x+7=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac72 \]
Нули знаменателя:
\[ x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \]
\[ x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2 \]
На числовой прямой отмечаем точки:
\[ -\frac72,\ -2,\ 1 \]
Все точки выколоты, потому что неравенство строгое, а \(-2\) и \(1\) ещё и не входят в ОДЗ.
Знаки:
\[ \begin{array}{c|cccc} & \left(-\infty;-\frac72\right) & \left(-\frac72;-2\right) & (-2;1) & (1;+\infty)\\ \hline \dfrac{2x+7}{(x-1)(x+2)} & - & + & - & + \end{array} \]
Нам нужны промежутки со знаком «минус», поэтому:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac72\right)\cup(-2;1)} \]
Проверка: возьмём \(x=0\), оно входит в \((-2;1)\):
\[ \frac{3}{-1}<\frac{1}{2} \]
\[ -3<0{,}5 \]
Верно.
№ 6. Вычисления
\[ (2-2)(2-1)=0\cdot1=0 \]
\[ \frac42+\frac24=2+\frac12=2{,}5 \]
\[ 3\cdot5-2\cdot3=15-6=9 \]
\[ 1+8=9 \]
\[ \frac{5}{(0-1)(0+1)}=\frac{5}{-1\cdot1}=-5 \]
Ответы № 6:
\[
0;\quad 2{,}5;\quad 9;\quad 9;\quad -5
\]
