Реши задание на изображении
Ответ:
а) \(x=-4,\,-3,\,3,\,4\);
б) действительных корней нет.
Как решать биквадратное уравнение
Уравнение вида
\[
ax^4+bx^2+c=0
\]
решают заменой
\[
t=x^2,\qquad t\ge 0.
\]
После замены получается обычное квадратное уравнение относительно \(t\). Затем возвращаются к \(x^2=t\).
а) \(x^4-25x^2+144=0\)
Пусть \(x^2=t\), \(t\ge 0\). Тогда:
\[ t^2-25t+144=0. \]
Находим дискриминант:
\[ D=(-25)^2-4\cdot1\cdot144=625-576=49. \]
\[ t_{1,2}=\frac{25\pm 7}{2}. \]
Значит:
\[ t_1=16,\qquad t_2=9. \]
Оба значения неотрицательны, поэтому возвращаемся к \(x\):
\[ x^2=16 \Rightarrow x=\pm4; \] \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3. \]
Корни:
\[
x=-4,\,-3,\,3,\,4.
\]
Проверка: например, при \(x=3\): \[ 3^4-25\cdot3^2+144=81-225+144=0. \]
б) \(y^4+14y^2+48=0\)
Пусть \(y^2=t\), \(t\ge 0\). Тогда:
\[ t^2+14t+48=0. \]
\[ D=14^2-4\cdot48=196-192=4. \]
\[ t_{1,2}=\frac{-14\pm2}{2}. \]
Получаем:
\[ t_1=-6,\qquad t_2=-8. \]
Но \(t=y^2\) не может быть отрицательным. Значит, действительных \(y\) нет.
Можно заметить и проще: при любом действительном \(y\)
\[ y^4\ge0,\qquad 14y^2\ge0, \]
поэтому
\[ y^4+14y^2+48>0. \]
Равенство нулю невозможно.
Ответ: действительных корней нет.
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение той же темы — ещё одно биквадратное уравнение.
\[ 5y^4-5y^2+2=0 \]
Сделаем замену:
\[ t=y^2,\quad t\ge 0. \]
Получим:
\[ 5t^2-5t+2=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot5\cdot2=25-40=-15. \]
Так как \(D<0\), квадратное уравнение относительно \(t\) не имеет действительных корней. Значит, и исходное уравнение не имеет действительных корней.
Можно показать и так:
\[ 5y^4-5y^2+2 =5\left(y^2-\frac12\right)^2+\frac34>0 \]
при любом действительном \(y\).
Ответ: действительных корней нет.
