Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$
Как это получить
Способ 1. Разложить на множители (подбор)
Ищем два числа, у которых:
- произведение равно $6$ (свободный член),
- сумма равна $5$ (число перед $x$, взятое с плюсом).
Подходят $2$ и $3$: $2\cdot 3=6$ и $2+3=5$.
Значит, уравнение можно переписать так:
$$(x-2)(x-3)=0$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
$$x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3$$
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)
$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$$
$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$
Проверка
- $x=2$: $;4-10+6=0$ ✓
- $x=3$: $;9-15+6=0$ ✓
Принцип, который стоит запомнить
- Приведённое уравнение $x^2+px+q=0$ решается подбором: нужны два числа с суммой $-p$ и произведением $q$. Тогда корни — это эти числа, взятые с противоположным знаком.
- Если подобрать трудно (числа не целые), всегда выручает дискриминант: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет.
- Ответ всегда проверяй подстановкой — это ловит почти все ошибки.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Что именно непонятно
Похоже, смущает момент: мы искали числа 2 и 3, а в записи появилась буква x. Разберём это отдельно.
Шаг 1. Где здесь x и почему он «просто стоит»
$x$ — это не число, которое мы подбирали. Это неизвестное, которое мы ищем, оно было в уравнении с самого начала:
$$x^2-5x+6=0$$
А числа $2$ и $3$ — это подсказка, как разложить выражение на множители. Само разложение записывается так:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
Здесь $x$ остаётся буквой, а $2$ и $3$ — те самые числа. То есть каждая скобка имеет вид «$x$ минус число».
Шаг 2. Проверим, что это правда (раскроем скобки обратно)
Перемножим скобки почленно — каждое слагаемое первой на каждое второй:
$$(x-2)(x-3)=x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3)$$
Считаем:
$$=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$$
Получилось ровно исходное выражение. Значит, запись верная — и теперь видно, откуда берутся числа: $-3x-2x=-5x$ (это сумма $2+3=5$), а $(-2)\cdot(-3)=6$ (это произведение $2\cdot3=6$).
Шаг 3. Почему из скобок получаются корни
У нас теперь уравнение в виде произведения:
$$(x-2)(x-3)=0$$
Главное свойство: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю. Например, $7\cdot 0=0$, $0\cdot 5=0$.
Значит, возможны только два варианта:
- первая скобка равна нулю: $x-2=0$, отсюда $x=2$;
- вторая скобка равна нулю: $x-3=0$, отсюда $x=3$.
Обратите внимание: в скобке стоит «$x$ минус 2», поэтому корень получается $+2$ — знак меняется. Если бы скобка была $(x+2)$, корень был бы $x=-2$.
Короткая шпаргалка
| Что видим в скобке | Какой корень |
|---|---|
| $(x-2)$ | $x=2$ |
| $(x+2)$ | $x=-2$ |
| $(x-3)$ | $x=3$ |
И общий принцип разложения: $x^2+px+q=(x-a)(x-b)$, где $a+b=-p$ и $a\cdot b=q$.
Проверка на похожем примере
$$x^2-7x+10=0$$
Ищем два числа: сумма $7$, произведение $10$ → это $2$ и $5$. Значит:
$$(x-2)(x-5)=0 \Rightarrow x=2 \text{ или } x=5$$
Проверка: $2+5=7$ ✓, $2\cdot5=10$ ✓, а подстановка $x=5$: $25-35+10=0$ ✓.
Если хотите, можем разобрать ещё шаг — почему в способе с дискриминантом получаются те же самые числа.
