Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3.
\]
Как решать:
- Ищем два числа, которые при умножении дают \(6\), а при сложении — \(5\). Это \(2\) и \(3\).
- Раскладываем квадратный трёхчлен на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
- Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка:
При \(x=2\):
\[
2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0.
\]
При \(x=3\):
\[
3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0.
\]
Оба корня подходят.
Принцип: если корни легко подобрать по теореме Виета, раскладываем на множители. Если трудно, можно использовать дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1, \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt1}{2}. \] То есть снова \(x=3\) и \(x=2\).
Обсуждение
4 сообщенияА если корни не целые, как решать?
Если целых корней нет, подбор не обязателен — используем универсальную формулу через дискриминант.
Для уравнения \[ ax^2+bx+c=0 \] сначала считаем: \[ D=b^2-4ac. \]
Корни находятся по формуле: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
Пример 1 — корни не целые: \[ x^2-5x+3=0. \] Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=3\): \[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot3=25-12=13. \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}. \] То есть \[ x_1=\frac{5-\sqrt{13}}{2},\qquad x_2=\frac{5+\sqrt{13}}{2}. \] Корни иррациональные, поэтому точный ответ так и оставляют — без округления.
Пример 2 — корень дробный: \[ 2x^2-7x+3=0. \] \[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25. \] \[ x_{1,2}=\frac{7\pm5}{4}. \] Значит: \[ x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{7+5}{4}=3. \]
Главное:
- если \(D\) — не полный квадрат, корни содержат \(\sqrt{D}\);
- если \(D\) — полный квадрат, корни могут быть дробными;
- если \(D<0\), действительных корней нет;
- если \(D=0\), корень один: \(x=-\frac{b}{2a}\).
Такой способ работает всегда, даже когда корни не целые.
Как тебя зовут
Я — ИИ-помощник ГДЗ от Новой Школы. Могу помочь со школьным заданием.
