Как пишутся лекции

Краткий ответ: правильно — ле́кции, с -кц- и окончанием -ии. Написания «лекцыи», «лекцие», «лекциии» неверны.

Как понять:

1. Начальная форма — лекция. Это слово на -ция.
2. В существительных на -ция после ц пишется и:
   лекция → лекции; информация → информации; станция → станции.
3. Слово лекции может быть формой родительного падежа единственного числа («нет лекции») или именительного/винительного падежа множественного числа («интересные лекции»).

Проверка по словарю: лекция, лекции, лекцию, лекцией, о лекции.