Решить задачу - Найдите АЕ и КЕ если в трапеции ABCD, AD || BC, BE || CD, E ∈ AD, AD = 16, BC = 10, АМ=МВ

Пусть \(K\) — точка пересечения прямой \(CM\) с прямой \(AD\) (на рисунке она лежит на продолжении \(AD\) за точку \(A\)).

1. Найдём \(AE\)

Так как \(AD\parallel BC\) и \(BE\parallel CD\), четырёхугольник \(BCDE\) — параллелограмм.
Значит, противоположные стороны равны:

\[ ED=BC=10. \]

Тогда

\[ AE=AD-ED=16-10=6. \]

2. Найдём \(KE\)

Рассмотрим треугольники \(AKM\) и \(BCM\).

• \(AM=BM\), так как \(M\) — середина \(AB\);
• \(\angle AMK=\angle BMC\) как вертикальные;
• \(\angle KAM=\angle CBM\), так как \(AK\parallel BC\), а \(A,M,B\) лежат на одной прямой.

Следовательно,

\[ \triangle AKM=\triangle BCM \]

по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому

\[ AK=BC=10. \]

Точка \(K\) лежит за \(A\), а \(E\) — между \(A\) и \(D\), значит:

\[ KE=KA+AE=10+6=16. \]

Ответ:

\[ \boxed{AE=6,\quad KE=16} \]