Реши 1,193

Кратко (при допустимых значениях):

\[ \text{а) }a-3b,\qquad \text{б) }\frac{1}{3d},\qquad \text{в) }\frac{1}{x^2},\qquad \text{г) }-\frac{5}{2m}. \]

Ограничения:
а) \(a\ne0,\ b\ne0\); б) \(c\ne0,\ d\ne0,\ c\ne d\);
в) \(x\ne0,\ x\ne-5\); г) \(m\ne0,\ n\ne m\).

Как действовать. При умножении дробей числители перемножаем, знаменатели — тоже:

\[ \frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}. \]

Но сначала лучше разложить всё на множители и сократить общие множители. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.

а)

\[ \frac{a^2-3ab}{b}\cdot\frac ba = \frac{a(a-3b)}{b}\cdot\frac ba =a-3b. \]

б)

\[ \frac{c}{3c-3d}\cdot\frac{c-d}{cd} = \frac{c}{3(c-d)}\cdot\frac{c-d}{cd} = \frac{1}{3d}. \]

в)

\[ x^2+5x=x(x+5), \]

поэтому

\[ \frac{x+5}{x}\cdot\frac{1}{x^2+5x} = \frac{x+5}{x}\cdot\frac{1}{x(x+5)} = \frac{1}{x^2}. \]

г)

\[ 5m-5n=5(m-n),\qquad 2n-2m=2(n-m)=-2(m-n). \]

Значит,

\[ \frac{5m-5n}{m^3}\cdot\frac{m^2}{2n-2m} = \frac{5(m-n)}{m^3}\cdot \frac{m^2}{-2(m-n)} = -\frac{5}{2m}. \]

Проверка для г): если \(m=2,\ n=1\), то исходное выражение даёт

\[ \frac{10-5}{8}\cdot\frac{4}{2-4} = \frac58\cdot(-2) = -\frac54, \]

и формула \(-\frac{5}{2m}\) даёт

\[ -\frac{5}{4}. \]

Всё сходится.