Подробное решение: сложение дробей с разными знаменателями

Общий алгоритм

1. Найди общий знаменатель — наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
2. Найди дополнительные множители: раздели общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.
3. Приведи дроби к общему знаменателю: умножь числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
4. Сложи числители, а общий знаменатель оставь без изменений.
5. Выдели целую часть, если дробь неправильная (числитель больше знаменателя).
6. Сократи дробь, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.
7. Проверь: из суммы вычти одно слагаемое — должно получиться второе.

Важно: знаменатели не складываем! Общий знаменатель — это «общая мерка», а складываем мы только количество этих мерок, то есть числители.

---

№ 1. \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}\)

Шаг 1. Знаменатели 3 и 4. НОК(3; 4) = 12 (числа взаимно простые, поэтому \(3\cdot4=12\)).

Шаг 2. Дополнительные множители: \(12:3=4\) и \(12:4=3\).

Шаг 3. Приводим дроби: \[ \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12},\qquad \frac{3}{4}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}. \]

Шаг 4. Складываем: \[ \frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{8+9}{12}=\frac{17}{12}. \]

Шаг 5. Выделяем целую часть: \(17:12=1\) (остаток 5), значит \[ \frac{17}{12}=1\frac{5}{12}. \]

Проверка: \(1\frac{5}{12}-\frac{3}{4}=\frac{17}{12}-\frac{9}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\) — первое слагаемое. ✔

Ответ: \(1\dfrac{5}{12}\).

---

№ 2. \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{5}\)

Шаг 1. НОК(4; 5) = 20.

Шаг 2. Множители: \(20:4=5\), \(20:5=4\).

Шаг 3. \[ \frac{3}{4}=\frac{15}{20},\qquad \frac{2}{5}=\frac{8}{20}. \]

Шаг 4. \[ \frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{23}{20}. \]

Шаг 5. \(23:20=1\) (остаток 3), значит \(\frac{23}{20}=1\frac{3}{20}\).

Проверка: \(\frac{23}{20}-\frac{8}{20}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\). ✔

Ответ: \(1\dfrac{3}{20}\).

---

№ 3. \(\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{7}\)

Шаг 1. НОК(5; 7) = 35.

Шаг 2. Множители: \(35:5=7\), \(35:7=5\).

Шаг 3. \[ \frac{4}{5}=\frac{28}{35},\qquad \frac{3}{7}=\frac{15}{35}. \]

Шаг 4. \[ \frac{28}{35}+\frac{15}{35}=\frac{43}{35}. \]

Шаг 5. \(43:35=1\) (остаток 8), значит \(\frac{43}{35}=1\frac{8}{35}\).

Проверка: \(\frac{43}{35}-\frac{15}{35}=\frac{28}{35}=\frac{4}{5}\). ✔

Ответ: \(1\dfrac{8}{35}\).

---

№ 4. \(\dfrac{3}{8}+\dfrac{7}{15}\)

Шаг 1. НОК(8; 15) = 120.

Шаг 2. Множители: \(120:8=15\), \(120:15=8\).

Шаг 3. \[ \frac{3}{8}=\frac{3\cdot15}{8\cdot15}=\frac{45}{120},\qquad \frac{7}{15}=\frac{7\cdot8}{15\cdot8}=\frac{56}{120}. \]

Шаг 4. \[ \frac{45}{120}+\frac{56}{120}=\frac{101}{120}. \]

Шаг 5. Дробь правильная, целой части нет. Проверяем сокращение: 101 — простое число, на 120 не делится, значит дробь несократима.

Проверка: \(\frac{101}{120}-\frac{56}{120}=\frac{45}{120}=\frac{3}{8}\). ✔

Ответ: \(\dfrac{101}{120}\).

---

№ 5. \(\dfrac{3}{7}+\dfrac{5}{8}\)

Шаг 1. НОК(7; 8) = 56.

Шаг 2. Множители: \(56:7=8\), \(56:8=7\).

Шаг 3. \[ \frac{3}{7}=\frac{24}{56},\qquad \frac{5}{8}=\frac{35}{56}. \]

Шаг 4. \[ \frac{24}{56}+\frac{35}{56}=\frac{59}{56}. \]

Шаг 5. \(59:56=1\) (остаток 3), значит \(\frac{59}{56}=1\frac{3}{56}\).

Проверка: \(\frac{59}{56}-\frac{35}{56}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}\). ✔

Ответ: \(1\dfrac{3}{56}\).

---

№ 6. \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{9}\)

Шаг 1. НОК(4; 9) = 36.

Шаг 2. Множители: \(36:4=9\), \(36:9=4\).

Шаг 3. \[ \frac{3}{4}=\frac{27}{36},\qquad \frac{5}{9}=\frac{20}{36}. \]

Шаг 4. \[ \frac{27}{36}+\frac{20}{36}=\frac{47}{36}. \]

Шаг 5. \(47:36=1\) (остаток 11), значит \(\frac{47}{36}=1\frac{11}{36}\).

Проверка: \(\frac{47}{36}-\frac{20}{36}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\). ✔

Ответ: \(1\dfrac{11}{36}\).

---

№ 7. \(\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{5}\)

Шаг 1. НОК(6; 5) = 30.

Шаг 2. Множители: \(30:6=5\), \(30:5=6\).

Шаг 3. \[ \frac{5}{6}=\frac{25}{30},\qquad \frac{2}{5}=\frac{12}{30}. \]

Шаг 4. \[ \frac{25}{30}+\frac{12}{30}=\frac{37}{30}. \]

Шаг 5. \(37:30=1\) (остаток 7), значит \(\frac{37}{30}=1\frac{7}{30}\).

Проверка: \(\frac{37}{30}-\frac{12}{30}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}\). ✔

Ответ: \(1\dfrac{7}{30}\).

---

№ 8. \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{9}\)

Шаг 1. НОК(2; 9) = 18.

Шаг 2. Множители: \(18:2=9\), \(18:9=2\).

Шаг 3. \[ \frac{1}{2}=\frac{9}{18},\qquad \frac{2}{9}=\frac{4}{18}. \]

Шаг 4. \[ \frac{9}{18}+\frac{4}{18}=\frac{13}{18}. \]

Шаг 5. Дробь правильная. 13 — простое, на 18 не делится, сокращать нечего.

Проверка: \(\frac{13}{18}-\frac{4}{18}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\). ✔

Ответ: \(\dfrac{13}{18}\).

---

Сводная таблица ответов

№	Пример	Приведение	Ответ
1	\(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\)	\(\frac{8}{12}+\frac{9}{12}\)	\(1\frac{5}{12}\)
2	\(\frac{3}{4}+\frac{2}{5}\)	\(\frac{15}{20}+\frac{8}{20}\)	\(1\frac{3}{20}\)
3	\(\frac{4}{5}+\frac{3}{7}\)	\(\frac{28}{35}+\frac{15}{35}\)	\(1\frac{8}{35}\)
4	\(\frac{3}{8}+\frac{7}{15}\)	\(\frac{45}{120}+\frac{56}{120}\)	\(\frac{101}{120}\)
5	\(\frac{3}{7}+\frac{5}{8}\)	\(\frac{24}{56}+\frac{35}{56}\)	\(1\frac{3}{56}\)
6	\(\frac{3}{4}+\frac{5}{9}\)	\(\frac{27}{36}+\frac{20}{36}\)	\(1\frac{11}{36}\)
7	\(\frac{5}{6}+\frac{2}{5}\)	\(\frac{25}{30}+\frac{12}{30}\)	\(1\frac{7}{30}\)
8	\(\frac{1}{2}+\frac{2}{9}\)	\(\frac{9}{18}+\frac{4}{18}\)	\(\frac{13}{18}\)

---

Полезные приёмы

Как быстро находить НОК.

• Разложи числа на простые множители и возьми каждый множитель в наибольшей степени: например, \(8=2^3\), \(15=3\cdot5\), значит НОК \(=2^3\cdot3\cdot5=120\).
• Если числа взаимно простые (нет общих делителей, кроме 1), НОК равно их произведению: так было в № 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 — поэтому общий знаменатель всегда произведение.

Как не ошибиться.

• Перемножать знаменатели можно всегда, но тогда дроби придётся ещё и сокращать. Лучше брать именно НОК.
• После сложения всегда проверяй, нельзя ли сократить дробь: ищи общий делитель числителя и знаменателя (2, 3, 5 и т. д.).

Проверка на глаз. Сумма двух положительных дробей должна быть больше каждой из них. Например, в № 4: \(\frac{101}{120}\approx0{,}84\), а слагаемые \(\approx0{,}375\) и \(\approx0{,}467\) — порядок верный.

Если хочешь, могу дать 2–3 похожих примера для тренировки — с ответами для самопроверки.