4sin2x-cosx-1=0 2sin2x+3cosx=0
В записи \(\sin2x\) ниже понимаю \(\sin^2x\). Если имелось в виду \(\sin(2x)\), уточни — тогда решение другое.
1) \(4\sin^2x-\cos x-1=0\)
Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\):
\[ 4(1-\cos^2x)-\cos x-1=0 \]
\[ 4\cos^2x+\cos x-3=0 \]
Пусть \(t=\cos x\):
\[ 4t^2+t-3=0 \]
\[ D=1+48=49 \]
\[ t=\frac{-1\pm7}{8} \]
\[ t=\frac34 \quad \text{или} \quad t=-1 \]
Значит:
\[ \cos x=\frac34 \quad \text{или} \quad \cos x=-1 \]
Отсюда:
\[ \boxed{x=\pm\arccos\frac34+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z} \]
и
\[ \boxed{x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z} \]
2) \(2\sin^2x+3\cos x=0\)
Снова \(\sin^2x=1-\cos^2x\):
\[ 2(1-\cos^2x)+3\cos x=0 \]
\[ 2\cos^2x-3\cos x-2=0 \]
Пусть \(t=\cos x\):
\[ 2t^2-3t-2=0 \]
\[ D=9+16=25 \]
\[ t=\frac{3\pm5}{4} \]
\[ t=2 \quad \text{или} \quad t=-\frac12 \]
Но \(\cos x\le1\), поэтому \(t=2\) не подходит. Остаётся:
\[ \cos x=-\frac12 \]
\[ \boxed{x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z} \]
Или отдельно:
\[ \boxed{x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z} \]
Идея: если в уравнении есть \(\sin^2x\) и \(\cos x\), заменяем \(\sin^2x=1-\cos^2x\) и получаем квадратное уравнение относительно \(\cos x\). После нахождения корней обязательно проверяем, что \(|\cos x|\le1\).
Обсуждение
6 сообщенийКруг можешь начертить с этими данными
Да. Вот единичная окружность со всеми точками (схема, не в масштабе):
y
↑
■ C (120°) │ ● A (α ≈ 41°)
╭─────┼─────╮
╱ │ ╲
╱ │ ╲
● B (180°) ────╱─────────┼─────────╲────→ x
╲ │ ╱
╲ │ ╱
╲ │ ╱
╰─────┼─────╯
■ D (240°) │ ● A′ (−α)
↓
- ● — точки первого уравнения:
\[ 4\sin^2x-\cos x-1=0 \] - ■ — точки второго уравнения:
\[ 2\sin^2x+3\cos x=0 \]
| Точка | Угол | Координаты на круге |
|---|---|---|
| \(A\) | \(\alpha=\arccos\frac34\approx41{,}4^\circ\) | \(\left(\frac34;\frac{\sqrt7}{4}\right)\) |
| \(A'\) | \(-\alpha\approx318{,}6^\circ\) | \(\left(\frac34;-\frac{\sqrt7}{4}\right)\) |
| \(B\) | \(180^\circ\) | \((-1;0)\) |
| \(C\) | \(120^\circ\) | \(\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)\) |
| \(D\) | \(240^\circ\) | \(\left(-\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\) |
Ко всем углам ещё прибавляется \(2\pi k\), то есть \(360^\circ k\), \(k\in\mathbb Z\).
Как читать круг: \(\cos x\) — это координата \(x\), \(\sin x\) — координата \(y\). Поэтому, например, \(\cos x=\frac34\) даёт две точки на вертикальной прямой \(x=\frac34\), а \(\cos x=-1\) — одну точку \((-1;0)\).
1/2 это в какой части находиться
Если речь про \(\cos x=\frac12\), то на единичной окружности это две точки в правой половине:
\[ x=60^\circ \quad \text{и}\quad x=-60^\circ \]
или в радианах:
\[ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \]
Координаты этих точек:
\[ \left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right) \quad\text{и}\quad \left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right) \]
Схема:
y
↑
│ ● cos x = 1/2
│ ╱
──────────────┼───│────→ x
│ 0 1/2
│ ╲
│ ● cos x = 1/2
То есть \(\frac12\) по оси \(Ox\) находится правее центра, между \(0\) и \(1\). А на самой окружности значению \(\cos x=\frac12\) соответствуют две точки: сверху и снизу.
Если ты имел в виду \(\sin x=\frac12\), то это уже верхняя половина, углы \(30^\circ\) и \(150^\circ\).
Если минус впереди стоит и это косинус
Если речь про \(\cos x=-\frac12\) (минус перед значением), то точка находится в левой половине окружности, потому что \(\cos x\) — это координата \(x\), а она отрицательная.
\[ \cos x=-\frac12 \]
дает два угла:
\[ x=120^\circ=\frac{2\pi}{3} \qquad\text{и}\qquad x=240^\circ=\frac{4\pi}{3} \]
Точки на окружности:
\[ \left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right) \quad\text{и}\quad \left(-\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right) \]
Схема:
y
↑
● 120° │
╲ │
────────╲─────┼────→ x
╲ │
● │ 240°
То есть:
- \(\cos x=\frac12\) — справа от вертикальной оси;
- \(\cos x=-\frac12\) — слева от вертикальной оси;
- \(\cos x=-1\) — самая левая точка \((-1;0)\), угол \(180^\circ\).
Если ты имел в виду выражение вида \(-\cos x\), то это просто \(\cos x\) с противоположным знаком: например, \(-\cos x=\frac12\) означает \(\cos x=-\frac12\).
