На йди корень из 2

Question 1

Задача Задача №3758816

А

Аноним

24 октября 2026 13:07 · публичный вопрос

А

Аноним 24 октября 2026 13:07

На йди корень из 2

Answer

Краткий ответ

$$\sqrt{2} \approx 1{,}414213562\ldots$$

Точной десятичной (и вообще дробной) записи у этого числа нет — это иррациональное число. Поэтому в ответах его так и оставляют: $\sqrt{2}$.

Что такое корень из 2

$\sqrt{2}$ — это положительное число $x$, у которого $x^2 = 2$. То есть нужно найти сторону квадрата площадью 2.

Шаг 1. Ловим число «в вилку»

Сравниваем квадраты и смотрим, между какими числами лежит 2:

$1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$ → корень между 1 и 2;
$1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2$ → между 1,4 и 1,5;
$1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2$ → между 1,41 и 1,42;
$1{,}414^2 = 1{,}999396 < 2 < 2{,}002225 = 1{,}415^2$ → между 1,414 и 1,415.

Каждый такой шаг даёт ещё один верный знак после запятой: 1,4 → 1,41 → 1,414 → 1,4142…

Шаг 2. Быстрый способ (метод Ньютона)

Берём любое приближение $x$ и считаем по формуле:

$$x_{\text{новое}} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{2}{x}\right)$$

Стартуем с $x = 1{,}5$ (удобно: $1{,}5^2 = 2{,}25$, чуть больше нужного):

$$1{,}5 \to 1{,}4166667 \to 1{,}4142157 \to 1{,}4142136$$

Каждый шаг удваивает число верных цифр — поэтому хватает трёх-четырёх итераций.

Проверка

$$1{,}414213562^2 = 1{,}999999999\ldots \approx 2$$

Значит, число найдено верно: ошибка меньше одной миллиардной.

Почему точной дроби нет (коротко)

Пусть $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ — несократимая дробь. Тогда $p^2 = 2q^2$, значит $p^2$ чётно, значит и $p$ чётно: $p = 2k$. Подставляем: $4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$, то есть $q$ тоже чётно. Но тогда дробь сократима — противоречие. Вывод: $\sqrt{2}$ нельзя записать дробью, только приближённо.

Как решать такие же задания

Например, $\sqrt{3}$: $1{,}7^2 = 2{,}89 < 3 < 3{,}24 = 1{,}8^2$ → корень между 1,7 и 1,8; дальше $1{,}73^2 = 2{,}9929$, $1{,}74^2 = 3{,}0276$ → $\sqrt{3} \approx 1{,}732$. Схема одна: вилка по квадратам + уточнение, либо формула Ньютона.

Question 2

на йди корень из 2

Answer

## Краткий ответ $$\sqrt{2} \approx 1{,}414213562\ldots$$ Точной десятичной (и вообще дробной) записи у этого числа **нет** — это иррациональное число. Поэтому в ответах его так и оставляют: $\sqrt{2}$. ## Что такое корень из 2 $\sqrt{2}$ — это положительное число $x$, у которого $x^2 = 2$. То есть нужно найти сторону квадрата площадью 2. ## Шаг 1. Ловим число «в вилку» Сравниваем квадраты и смотрим, между какими числами лежит 2: - $1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$ → корень между 1 и 2; - $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2$ → между 1,4 и 1,5; - $1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2$ → между 1,41 и 1,42; - $1{,}414^2 = 1{,}999396 < 2 < 2{,}002225 = 1{,}415^2$ → между 1,414 и 1,415. Каждый такой шаг даёт ещё один верный знак после запятой: 1,4 → 1,41 → 1,414 → 1,4142… ## Шаг 2. Быстрый способ (метод Ньютона) Берём любое приближение $x$ и считаем по формуле: $$x_{\text{новое}} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{2}{x}\right)$$ Стартуем с $x = 1{,}5$ (удобно: $1{,}5^2 = 2{,}25$, чуть больше нужного): $$1{,}5 \to 1{,}4166667 \to 1{,}4142157 \to 1{,}4142136$$ Каждый шаг **удваивает** число верных цифр — поэтому хватает трёх-четырёх итераций. ## Проверка $$1{,}414213562^2 = 1{,}999999999\ldots \approx 2$$ Значит, число найдено верно: ошибка меньше одной миллиардной. ## Почему точной дроби нет (коротко) Пусть $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ — несократимая дробь. Тогда $p^2 = 2q^2$, значит $p^2$ чётно, значит и $p$ чётно: $p = 2k$. Подставляем: $4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$, то есть $q$ тоже чётно. Но тогда дробь сократима — противоречие. Вывод: $\sqrt{2}$ нельзя записать дробью, только приближённо. ## Как решать такие же задания Например, $\sqrt{3}$: $1{,}7^2 = 2{,}89 < 3 < 3{,}24 = 1{,}8^2$ → корень между 1,7 и 1,8; дальше $1{,}73^2 = 2{,}9929$, $1{,}74^2 = 3{,}0276$ → $\sqrt{3} \approx 1{,}732$. Схема одна: **вилка по квадратам + уточнение**, либо формула Ньютона.