Конспект

Question 1

Математика Задача №3758828

А

Аноним

24 октября 2026 13:13 · публичный вопрос

А

Аноним 24 октября 2026 13:13

Конспект

Answer

Кратко. В лекции три темы: тождественные преобразования, линейные уравнения и квадратные уравнения. Главные инструменты — раскрытие скобок, приведение подобных, формулы сокращённого умножения, перенос слагаемых, дискриминант \(D=b^2-4ac\) и формулы корней. Ниже — готовый конспект, затем объяснение логики и проверка примеров.

Конспект

1. Тождества и тождественные преобразования

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Пример:
\[ 2(x+3)=2x+6. \]
Тождественное преобразование — замена выражения другим, тождественно равным ему.
Зачем нужно: упростить выражение, раскрыть скобки, привести подобные, разложить на множители, сократить дробь, подготовить уравнение или неравенство к решению.

Основные правила

Раскрытие скобок. \[ a+(b-c)=a+b-c,\qquad a-(b-c)=a-b+c. \] Если перед скобками «+», знаки внутри не меняются. Если «−», все знаки меняются на противоположные.

Распределительное свойство: \[ a(b+c)=ab+ac,\qquad a(b-c)=ab-ac. \] Пример: \[ 3(2x-5)=6x-15. \]
Приведение подобных слагаемых. Подобные — слагаемые с одинаковой буквенной частью: \[ 5x+3x=8x,\qquad 7a-2a=5a. \] Слагаемые \(3x\) и \(4y\) не подобны, сложить их в одно нельзя.

Пример: \[ 6x-4+2x+7=6x+2x-4+7=8x+3. \]
Вынесение общего множителя за скобки. \[ ab+ac=a(b+c). \] Пример: \[ 8x^2-12x=4x(2x-3). \]

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2; \] пример: \((x+3)^2=x^2+6x+9\).
Квадрат разности:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2; \] пример: \((x-4)^2=x^2-8x+16\).
Разность квадратов:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b); \] пример: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\).
Куб суммы:
\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3; \] пример: \((x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8\).
Куб разности:
\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3; \] пример: \((x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8\).
Сумма кубов:
\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2); \] пример: \(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\).
Разность кубов:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2); \] пример: \(x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)\).

Практические примеры

\(3(2x-5)-2(x+1)+7=6x-15-2x-2+7=4x-10\).
\(5a-(2a-7)+3(a+1)=5a-2a+7+3a+3=6a+10\).
\((x+5)^2-10x=x^2+10x+25-10x=x^2+25\).
\(x^2-16=x^2-4^2=(x-4)(x+4)\).
\((2x-3)^2-(4x^2-12x)=4x^2-12x+9-4x^2+12x=9\).

Запомните: внимательно следите за знаками; приводить можно только подобные слагаемые; формулы сокращённого умножения нужно узнавать как слева направо, так и справа налево; после преобразования полезно проверить, действительно ли получилось тождественно равное выражение.

2. Линейные уравнения

Определение. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид \[ ax+b=0,\quad a\ne0, \] где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — некоторые числа.

Решить уравнение — значит найти значение \(x\), при котором равенство становится верным.

Перенос слагаемых. Слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Обычно слагаемые с переменной собирают в одной части, а числа — в другой.

Алгоритм решения линейного уравнения:

Раскрыть скобки, если они есть.
Перенести слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую.
Привести подобные слагаемые.
Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной.
При необходимости выполнить проверку.

Пример 1. \[ 5x-7=2x+8; \] \[ 5x-2x=8+7; \] \[ 3x=15; \] \[ x=5. \]

Пример 2. Уравнение со скобками. \[ 4(2x-3)-5=3(x+2); \] \[ 8x-12-5=3x+6; \] \[ 8x-17=3x+6; \] \[ 8x-3x=6+17; \] \[ 5x=23; \] \[ x=\frac{23}{5}=4{,}6. \]

Пример 3. Дробные коэффициенты. В лекции показан приём: обе части уравнения умножают на 6, чтобы убрать знаменатели. После сокращения получается \[ 3x=30,\qquad x=10. \] Общий способ: умножить обе части на общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей.

3. Квадратные уравнения

Определение. \[ ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0, \] где \(x\) — переменная, \(a,b,c\) — некоторые числа. \(a\) — первый коэффициент, \(b\) — второй коэффициент, \(c\) — свободный член.

Важно: коэффициенты выписывают вместе с их знаками. Например, в уравнении \[ 2x^2-5x+3=0 \] коэффициенты такие: \[ a=2,\quad b=-5,\quad c=3. \]

Если в уравнении присутствуют все три слагаемых, оно называется полным квадратным уравнением.

Дискриминант: \[ D=b^2-4ac. \]

Число корней:

если \(D>0\), уравнение имеет два различных действительных корня;
если \(D=0\), уравнение имеет один корень;
если \(D<0\), действительных корней нет.

Формулы корней: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \] При \(D=0\): \[ x=-\frac{b}{2a}. \]

Пример при \(D>0\). \[ x^2-5x+6=0, \] \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6. \] \[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \] \[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2. \]

Пример при \(D=0\). \[ x^2-6x+9=0, \] \[ a=1,\quad b=-6,\quad c=9. \] \[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0. \] \[ x=\frac{6}{2}=3. \]

Пример при \(D<0\). \[ x^2+2x+5=0, \] \[ a=1,\quad b=2,\quad c=5. \] \[ D=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0. \] Действительных корней нет.

Неполные квадратные уравнения

Если отсутствует второе слагаемое \(b\) или свободный член \(c\), уравнение называют неполным. Его обычно решают без дискриминанта.

Случай \(c=0\): \[ ax^2+bx=0; \] \[ x(ax+b)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x=0\quad\text{или}\quad ax+b=0. \] Пример: \[ 3x^2-12x=0; \] \[ 3x(x-4)=0; \] \[ x_1=0,\quad x_2=4. \]
Случай \(b=0\): \[ ax^2+c=0; \] \[ x^2=-\frac{c}{a}. \] Если правая часть неотрицательна, то \[ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}. \] Пример: \[ x^2-49=0; \] \[ x^2=49; \] \[ x_1=7,\quad x_2=-7. \]
Случай \(b=0\), но после переноса \(x^2\) равно отрицательному числу. Тогда действительных корней нет.

Как понять принцип, а не зубрить

Тождественные преобразования — это сохранение значения выражения.
Когда мы раскрываем скобки, то применяем распределительный закон. Когда приводим подобные, складываем одинаковые «пачки». Когда выносим общий множитель, делаем то же самое в обратную сторону. Поэтому любую замену можно проверить: подставьте вместо \(x\) число и сравните значения исходного и нового выражений.
Линейное уравнение — это весы.
Если к обеим частям прибавить или из обеих вычесть одно и то же, равенство не нарушится. «Перенос через знак равенства» — это и есть вычитание одного и того же из обеих частей. Остаётся разделить обе части на коэффициент при \(x\).
Квадратное уравнение и дискриминант.
Дискриминант показывает, сколько раз парабола \(y=ax^2+bx+c\) пересекает ось \(Ox\):
\(D>0\) — две точки, \(D=0\) — одна, \(D<0\) — нет точек пересечения.

Формула корней получается выделением полного квадрата: \[ ax^2+bx+c=0; \] \[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0; \] \[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{D}{4a^2}. \] Если \(D<0\), квадрат равен отрицательному числу — для действительных \(x\) это невозможно. Если \(D\ge0\), извлекаем корень и получаем \[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \] Так формула перестаёт быть «магической».

Проверка примеров

\(x=5\) в уравнении \(5x-7=2x+8\):
слева \(25-7=18\), справа \(10+8=18\). Верно.
\(x=4{,}6\) в уравнении \(4(2x-3)-5=3(x+2)\):
слева \(4(9{,}2-3)-5=4\cdot6{,}2-5=19{,}8\);
справа \(3(4{,}6+2)=3\cdot6{,}6=19{,}8\). Верно.
\(x=3\) и \(x=2\) в уравнении \(x^2-5x+6=0\):
\(9-15+6=0\) и \(4-10+6=0\). Верно.
\(x=7\) и \(x=-7\) в уравнении \(x^2-49=0\):
\(49-49=0\). Верно.

Что чаще всего теряют

знак при раскрытии скобок после минуса;
знаки коэффициентов \(b\) и \(c\) в дискриминанте;
при \(D<0\) пишут \(x=0\) вместо «нет действительных корней»;
в уравнении \(x^2=49\) забывают второй корень \(-7\);
в уравнении \(3x^2-12x=0\) делят на \(x\) и теряют корень \(x=0\);
складывают \(3x\) и \(4y\), хотя это не подобные слагаемые.

Question 2

конспект

Answer

**Кратко.** В лекции три темы: тождественные преобразования, линейные уравнения и квадратные уравнения. Главные инструменты — раскрытие скобок, приведение подобных, формулы сокращённого умножения, перенос слагаемых, дискриминант \(D=b^2-4ac\) и формулы корней. Ниже — готовый конспект, затем объяснение логики и проверка примеров. ## Конспект ### 1. Тождества и тождественные преобразования - **Тождество** — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Пример: \[ 2(x+3)=2x+6. \] - **Тождественное преобразование** — замена выражения другим, тождественно равным ему. - **Зачем нужно:** упростить выражение, раскрыть скобки, привести подобные, разложить на множители, сократить дробь, подготовить уравнение или неравенство к решению. **Основные правила** 1. **Раскрытие скобок.** \[ a+(b-c)=a+b-c,\qquad a-(b-c)=a-b+c. \] Если перед скобками «+», знаки внутри не меняются. Если «−», все знаки меняются на противоположные. Распределительное свойство: \[ a(b+c)=ab+ac,\qquad a(b-c)=ab-ac. \] Пример: \[ 3(2x-5)=6x-15. \] 2. **Приведение подобных слагаемых.** Подобные — слагаемые с одинаковой буквенной частью: \[ 5x+3x=8x,\qquad 7a-2a=5a. \] Слагаемые \(3x\) и \(4y\) не подобны, сложить их в одно нельзя. Пример: \[ 6x-4+2x+7=6x+2x-4+7=8x+3. \] 3. **Вынесение общего множителя за скобки.** \[ ab+ac=a(b+c). \] Пример: \[ 8x^2-12x=4x(2x-3). \] **Формулы сокращённого умножения** - Квадрат суммы: \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2; \] пример: \((x+3)^2=x^2+6x+9\). - Квадрат разности: \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2; \] пример: \((x-4)^2=x^2-8x+16\). - Разность квадратов: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b); \] пример: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\). - Куб суммы: \[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3; \] пример: \((x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8\). - Куб разности: \[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3; \] пример: \((x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8\). - Сумма кубов: \[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2); \] пример: \(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\). - Разность кубов: \[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2); \] пример: \(x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)\). **Практические примеры** - \(3(2x-5)-2(x+1)+7=6x-15-2x-2+7=4x-10\). - \(5a-(2a-7)+3(a+1)=5a-2a+7+3a+3=6a+10\). - \((x+5)^2-10x=x^2+10x+25-10x=x^2+25\). - \(x^2-16=x^2-4^2=(x-4)(x+4)\). - \((2x-3)^2-(4x^2-12x)=4x^2-12x+9-4x^2+12x=9\). **Запомните:** внимательно следите за знаками; приводить можно только подобные слагаемые; формулы сокращённого умножения нужно узнавать как слева направо, так и справа налево; после преобразования полезно проверить, действительно ли получилось тождественно равное выражение. ### 2. Линейные уравнения **Определение.** Линейное уравнение с одной переменной имеет вид \[ ax+b=0,\quad a\ne0, \] где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — некоторые числа. **Решить уравнение** — значит найти значение \(x\), при котором равенство становится верным. **Перенос слагаемых.** Слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Обычно слагаемые с переменной собирают в одной части, а числа — в другой. **Алгоритм решения линейного уравнения:** 1. Раскрыть скобки, если они есть. 2. Перенести слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую. 3. Привести подобные слагаемые. 4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной. 5. При необходимости выполнить проверку. **Пример 1.** \[ 5x-7=2x+8; \] \[ 5x-2x=8+7; \] \[ 3x=15; \] \[ x=5. \] **Пример 2. Уравнение со скобками.** \[ 4(2x-3)-5=3(x+2); \] \[ 8x-12-5=3x+6; \] \[ 8x-17=3x+6; \] \[ 8x-3x=6+17; \] \[ 5x=23; \] \[ x=\frac{23}{5}=4{,}6. \] **Пример 3. Дробные коэффициенты.** В лекции показан приём: обе части уравнения умножают на 6, чтобы убрать знаменатели. После сокращения получается \[ 3x=30,\qquad x=10. \] Общий способ: умножить обе части на общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей. ### 3. Квадратные уравнения **Определение.** \[ ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0, \] где \(x\) — переменная, \(a,b,c\) — некоторые числа. \(a\) — первый коэффициент, \(b\) — второй коэффициент, \(c\) — свободный член. **Важно:** коэффициенты выписывают вместе с их знаками. Например, в уравнении \[ 2x^2-5x+3=0 \] коэффициенты такие: \[ a=2,\quad b=-5,\quad c=3. \] Если в уравнении присутствуют все три слагаемых, оно называется **полным квадратным уравнением**. **Дискриминант:** \[ D=b^2-4ac. \] **Число корней:** - если \(D>0\), уравнение имеет два различных действительных корня; - если \(D=0\), уравнение имеет один корень; - если \(D<0\), действительных корней нет. **Формулы корней:** \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \] При \(D=0\): \[ x=-\frac{b}{2a}. \] **Пример при \(D>0\).** \[ x^2-5x+6=0, \] \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6. \] \[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \] \[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2. \] **Пример при \(D=0\).** \[ x^2-6x+9=0, \] \[ a=1,\quad b=-6,\quad c=9. \] \[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0. \] \[ x=\frac{6}{2}=3. \] **Пример при \(D<0\).** \[ x^2+2x+5=0, \] \[ a=1,\quad b=2,\quad c=5. \] \[ D=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0. \] Действительных корней нет. **Неполные квадратные уравнения** Если отсутствует второе слагаемое \(b\) или свободный член \(c\), уравнение называют неполным. Его обычно решают без дискриминанта. 1. **Случай \(c=0\):** \[ ax^2+bx=0; \] \[ x(ax+b)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x=0\quad\text{или}\quad ax+b=0. \] Пример: \[ 3x^2-12x=0; \] \[ 3x(x-4)=0; \] \[ x_1=0,\quad x_2=4. \] 2. **Случай \(b=0\):** \[ ax^2+c=0; \] \[ x^2=-\frac{c}{a}. \] Если правая часть неотрицательна, то \[ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}. \] Пример: \[ x^2-49=0; \] \[ x^2=49; \] \[ x_1=7,\quad x_2=-7. \] 3. **Случай \(b=0\), но после переноса \(x^2\) равно отрицательному числу.** Тогда действительных корней нет. ## Как понять принцип, а не зубрить 1. **Тождественные преобразования — это сохранение значения выражения.** Когда мы раскрываем скобки, то применяем распределительный закон. Когда приводим подобные, складываем одинаковые «пачки». Когда выносим общий множитель, делаем то же самое в обратную сторону. Поэтому любую замену можно проверить: подставьте вместо \(x\) число и сравните значения исходного и нового выражений. 2. **Линейное уравнение — это весы.** Если к обеим частям прибавить или из обеих вычесть одно и то же, равенство не нарушится. «Перенос через знак равенства» — это и есть вычитание одного и того же из обеих частей. Остаётся разделить обе части на коэффициент при \(x\). 3. **Квадратное уравнение и дискриминант.** Дискриминант показывает, сколько раз парабола \(y=ax^2+bx+c\) пересекает ось \(Ox\): \(D>0\) — две точки, \(D=0\) — одна, \(D<0\) — нет точек пересечения. Формула корней получается выделением полного квадрата: \[ ax^2+bx+c=0; \] \[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0; \] \[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{D}{4a^2}. \] Если \(D<0\), квадрат равен отрицательному числу — для действительных \(x\) это невозможно. Если \(D\ge0\), извлекаем корень и получаем \[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \] Так формула перестаёт быть «магической». ## Проверка примеров - \(x=5\) в уравнении \(5x-7=2x+8\): слева \(25-7=18\), справа \(10+8=18\). Верно. - \(x=4{,}6\) в уравнении \(4(2x-3)-5=3(x+2)\): слева \(4(9{,}2-3)-5=4\cdot6{,}2-5=19{,}8\); справа \(3(4{,}6+2)=3\cdot6{,}6=19{,}8\). Верно. - \(x=3\) и \(x=2\) в уравнении \(x^2-5x+6=0\): \(9-15+6=0\) и \(4-10+6=0\). Верно. - \(x=7\) и \(x=-7\) в уравнении \(x^2-49=0\): \(49-49=0\). Верно. ## Что чаще всего теряют - знак при раскрытии скобок после минуса; - знаки коэффициентов \(b\) и \(c\) в дискриминанте; - при \(D<0\) пишут \(x=0\) вместо «нет действительных корней»; - в уравнении \(x^2=49\) забывают второй корень \(-7\); - в уравнении \(3x^2-12x=0\) делят на \(x\) и теряют корень \(x=0\); - складывают \(3x\) и \(4y\), хотя это не подобные слагаемые.