Реши номер 903 1 и 2 пример
№ 903
\(y=\dfrac{x^3}{x^2+3}\), \(D(y)=\mathbb R\).
\[ y'=\frac{3x^2(x^2+3)-x^3\cdot2x}{(x^2+3)^2} =\frac{x^2(x^2+9)}{(x^2+3)^2}\ge0. \] Ответ: возрастает на \((-\infty;+\infty)\); промежутков убывания нет.\(y=\dfrac{(x-2)(8-x)}{x^2}\), \(x\ne0\).
\[ y'=\frac{32-10x}{x^3}=\frac{2(16-5x)}{x^3},\qquad x=3{,}2. \] Ответ: возрастает на \((0;3{,}2]\); убывает на \((-\infty;0)\) и \([3{,}2;+\infty)\).
Обсуждение
6 сообщенийРеши также 903 (3) и (4)
Пришлите, пожалуйста, сами функции из пунктов (3) и (4) — по номеру 903 я их не вижу, угадывать не буду. Дальше сразу найду производные и промежутки возрастания/убывания.
Реши также 903 (3) и (4)
903 (3)
\[
y=(x-1)e^{3x},\qquad
y'=e^{3x}(3x-2).
\]
Нуль производной: \(x=\dfrac23\).
- при \(x<\dfrac23\): \(y'<0\) — функция убывает;
- при \(x>\dfrac23\): \(y'>0\) — функция возрастает.
Ответ: убывает на \(\left(-\infty;\dfrac23\right]\); возрастает на \(\left[\dfrac23;+\infty\right)\).
903 (4)
\[
y=xe^{-3x},\qquad
y'=e^{-3x}(1-3x).
\]
Нуль производной: \(x=\dfrac13\).
- при \(x<\dfrac13\): \(y'>0\) — функция возрастает;
- при \(x>\dfrac13\): \(y'<0\) — функция убывает.
Ответ: возрастает на \(\left(-\infty;\dfrac13\right]\); убывает на \(\left[\dfrac13;+\infty\right)\).
Реши номер 904 и 905
№ 904
\(y=e^{x^2+3x}\),
\[ y'=e^{x^2+3x}(2x+3). \] Убывает на \(\left(-\infty;-\frac32\right]\), возрастает на \(\left[-\frac32;+\infty\right)\).\(y=3^{x^2-x}\),
\[ y'=3^{x^2-x}\ln3\cdot(2x-1). \] Убывает на \(\left(-\infty;\frac12\right]\), возрастает на \(\left[\frac12;+\infty\right)\).
№ 905
\(y=x-\sin2x\),
\[ y'=1-2\cos2x. \] Убывает на \(\left[-\frac{\pi}{6}+\pi k;\frac{\pi}{6}+\pi k\right]\),
возрастает на \(\left[\frac{\pi}{6}+\pi k;\frac{5\pi}{6}+\pi k\right]\), \(k\in\mathbb Z\).\(y=3x+2\cos3x\),
\[ y'=3-6\sin3x. \] Убывает на \(\left[\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3};\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}\right]\),
возрастает на \(\left[\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3};\frac{13\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}\right]\), \(k\in\mathbb Z\).
