Корень из 45

Ответ: $\sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71$

Как это получается

1. Раскладываем подкоренное число на множители так, чтобы среди них был полный квадрат: $$45 = 9 \cdot 5$$

2. Пользуемся свойством корня произведения (для $a, b \ge 0$): $$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$

3. Считаем корень из полного квадрата: $$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$$

Проверка: $3\sqrt{5} \approx 3 \cdot 2{,}236 = 6{,}708$, и $\sqrt{45} \approx 6{,}708$ — совпадает. Заодно видно, что ответ «правдоподобен»: $6^2 = 36 < 45 < 49 = 7^2$, значит корень лежит между 6 и 7.

Принцип, который стоит запомнить

Упрощение корня — это поиск наибольшего полного квадрата среди множителей: $4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots$ Если такой множитель нашёлся, он «выходит» из-под корня. Если нет (например, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ — квадратов нет), корень уже не упрощается.

Полезно держать в голове таблицу квадратов до $15^2 = 225$ — тогда множитель виден сразу: $45 = 9 \cdot 5$, $48 = 16 \cdot 3$, $72 = 36 \cdot 2$.